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La funzione di Green per l'equazione (1) sarà una funzione G(x ,t'\Xi,ti), 

 soluzione dell'equazione aggiunta alla (1): 



(3) — + - = L{x , i)v 



tale che si abbia 



(3') G{x , , ^) = * o j(« , ^a?! , ti) -f G'(cc , *|a;, , ^) 



in cui col prof. Levi (vedi /? a pag. 201) poniamo 



flap (a?, *pi , ^i)= _ ^.p e 



G'(a; , t\xi , ^i) sarà una funzione regolare, la quale prenderà in modo continuo 

 i valori 



ff G'(x , t\xi , ti) = 0 lungo ^ = A 



(3 ) 



G'(x, t\Xi , ti) = — f> 0 i (x , ti) lungo ^ = ? 1 (^) e lungo x = h(t), 



se (a?i , ti) è dentro al campo e, non sul contorno. 



E facile dimostrare che la funzione G è univocamente determinata, e 

 che, se esiste, si avrà 



(4) u(xi , -ti) = — ; = fw(x , t) \ G(x ,t\ xi , ti) dx — — G(x , atleta , M dt\ , 



2 jAr J ( . ~òx ) 



t 0 S ti 



purché u(x , t) sia soluzione regolare della (1), continua al contorno di e 

 2. Si è stabilito il fatto che, data una catena continua di valori lungo s, 

 esiste una e una sola soluzione regolare dell'equazione (1) tale che prenda 

 in modo continuo quei valori al contorno, purché la funzione k(x , t) sia 

 limitata, continua, e abbia una derivata continua rispetto alla t ( : ), oppure 

 sia limitata, continua e soddisfi alla condizione del Levi ( 2 ). L'ultima ipo- 

 tesi è la nostra. Questa soluzione soddisfa all'equazione integrale 



(5) u(x , t) = u'(%i , ti) -\ — j j k(x , t) g{x ,t\xi , ti) u(x , t) d<? , 



to ti 



in cui g(x,t\xi,ti) è funzione di Green per l'equazione ^~ — -~ = 0, 



~òX ~òt 



(') W. H. Hnrwitz, Randwertaufgaben bei Systemen von linearen parliellen Differen- 

 tialgleichungen erster Ordnung [Diss. GOttingen, 1910], a pag. 88. Vedi anche §, § 2, 

 e «, cap. II. 



( 3 ) Vedi /} a pag. 239, per questa condizione. 



