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e u'(xi , ti) è la soluzione di quell'equazione prendendo i dati valori sul 

 contorno, e cioè 



(5 r ) u'(x 1 ,ti) = — 7= f u(x,t)]g(x,t\xi,ti)dx — -^-'g(x,t\x 1 ,t l )dt\. 



2 y n J \ 1 



L'equazione (5) ha l'unica soluzione seguente : 



(6) u{x x , ti) = u\xi ,ti) — j \ y{x ,t\xi, ti) u\x ,t) da, 



in cui y(x ,t\%i ,t\) è la funzione associata ( : ) alla funzione 



k(X ,t) , , V 



2 y 7r 



per mezzo della reiasione di Volterra pel campo considerato (vedi a, cap. II): 



(7) y{x , i\x, , <0 -j- * y(a? , ^g, , ft) s= 



2 y 7r 



2 1/ 7T ^ 



da 



2f 



l ff U 



Consideriamo ora la funzione 

 (8) — ^ n ' y{x ,t\xi, ti) = g{x , t\x x , ti) — 



g{x , t\§ , t) y(f ,t\x x , t^ da 



fu 



Abbiamo il teorema: 



A(x ti 



Se y(x , t\xi , ti) è la funzione associata a — — g(x ,t\x x ,t\) 



per mezzo della relazione di Volterra (7) pel dato campo a, allora la 

 funzione di Green per l'equazione (1) è 



G(x ,t\xi, ti) = — ^ n ^ y{x , t\xi , ti) . 



(') È nucleo dell'equazione risolvente dell'equazione integrale di cui il nucleo è la 

 funzione data. 



