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3. Infatti, si dimostra facilmente che la funzione y(x , t\x x , ti) come 

 funzione di x e t, purché (x , t) ={= (xi , ti), soddisfa alla condizione di E. Levi 

 (vedi a cap. II, § 5). Ne segue, se poniamo G = h 0 i-\-G', in cui sia 



G'{x , t\Xi , ti) = g\x , t\xi , ti) — g{x , *|f , t) y(f , T|aà , *i) rfff, 



che la G'(x ,t\xi ,ti) è funzione regolare in x,t, purché (x,t) sia dentro a, 

 non sul contorno. Per vedere ciò, è necessario solamente riguardare le 

 forinole esplicite per le derivate ( 1 ). Inoltre si ha ovviamente dalla (8) che 

 la G'(x , t\xi , ti) soddisfa alle condizioni (3 r ), pel contorno. 



ix* it ' 



Finalmente, se calcoleremo l'espressione differenziale 

 avremo dalla (8) e dalle forinole esplicite per le derivate 



= k(x , t) G{x , t\x x , ^i) , 



e quindi la G{x ,t\xi ,t\) è la desiderata funzione di Green per l'equa- 

 zione (1). 



Nel solito modo si dimostra che R(x , i\x, , ti) = G(xi , l x \x , t) è la 

 funzione di Green per l'equazione aggiunta (3). 



4. Consideriamo finalmente l'equazione integro-differenziale (2). Rispetto 

 al campo a assumiamo, oltre le condizioni specificate nel principio, che 

 £[(/) sia < 0 e $' 2 (t) >> 0 ( 2 ). Con (x , t x ) denotiamo quel punto del con- 

 torno di cui una coordinata è x. Rispetto alla À.(x,t,v), supponiamo che 

 essa sia continua nelle tre variabili x , t , % e soddisfi alla condizione del 

 Levi, essendo (x , t) e (x , t) punti dentro a. 



La soluzione della (2) determinata per mezzo di una catena continua 

 di valori sul contorno t s ti si può scrivere come la soluzione dell'equazione 

 integrale 



(9) u(xi , h) = u'(x , t) -\-JJk(x ,t\xi , ti) u(x , t) do, 



essendo u'(Xi , t x ) la funzione definita colla (5), e K(cc ,t\x x , ti) la funzione 



i irti 



(10) K(x , t\Xi , ti) = — -= l g(x ,t\xi , ti) A(x , r, t) dr. 



2 y n Jt 



(') Vedi § 22 Infatti, si deve far uso dell'analisi corrispondente per l'equazione 

 aggiunta. 



( s ) Pel campo prima specificato si ha un'equazione integro-differenziale diversa, ma 

 la generalizzazione non è difficile. 



