— 859 — 



Quindi si ha 



(10') u(xi , ti) = u f (Xi , ti) — \ k(x , t\x x , ti) u\x , i) da, 



lo 1 1 



in cui" k(x , t \xi , li) è determinata per mezzo della relazione di Volterra 

 pel dato campo (vedi a, cap. II): 



(11) k(x , t\xi , U) + K(x , t\xi , t x ) = jjk{x , 1\£,t) K(£ , *|a?i , *i) d<r 



= j"J*K(a>, f| £.,«)*(£, ,ti)da. 



5. Formiamo ora la funzione 

 (12) S(x , t\x x , fr) = g{x ,(\xi, ti) —JJd( x -t\% ,*) *(£ » « *0 ^ 



clie chiameremo funzione di Green estesa per l'equazione (2). Infatti, si 

 dimostra facilmente che è regolare, e come si vede per mezzo della (11), è 

 soluzione dell equazione aggiunta seguente 



( 18 ) + P*S'(fl?,T|aj 1 ,<i)A(af,*,/)d*, 



ùX di %J t 



e si può scrivere nella forma (3'), sotto le condizioni (3"). 



Per mezzo di un cambiamento nell'ordine dell' integrazione analogo a 

 quello per mezzo del quale si stabilisce la (13), abbiamo il fatto che 



i rt 



| v(x , /) k(x ,t,x) u(x , x) di — 



Cti ) 

 — u(x , t) k{x ,r,t) v(x , x) dx \ da = 0 



purché u(x , t) e v(x , t) siano funzioni limitate e continue. 



Ne segue che, trasformando l' integrale doppio dell'espressione 



\2, 



v \^-^)- u {^ + Tt) 



nel solito modo, abbiamo il teorema seguente: 



Se S(x , t\xi , ti) è la funzione di Green estesa per l'equazione (2), la 

 funzione 



(14) 



u(xi , ti) = — -= \u(x , t) j S(x , t\xi , ti) dx — S(x , t \xi , ti) dt \ 



2 y ix J ( ~ì* x 



