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è la soluzione della (1) definita per messo della catena continua di va- 

 lori u{x , t) sul contorno £o s ti . 



6. Sono giunto alle formole per queste funzioni di Green (8) e (12), 

 non col metodo esposto, che è simile a quello del Hilbert, ma con un cam- 

 biamento di variabili nelle formole per le soluzioni delle equazioni diffe- 

 renziali e integro-differenziali di tipo parabolico, cercando così di scriverle 

 come integrali lineari (vedi la (4) e la (14)) invece di integrali doppi, come 

 sono espresse le soluzioni già ottenute (vedi la (6) e la (10')). 



Notisi che la funziono di Green estesa che abbiamo trovato per la (2) 

 non è funzione di Green nel senso consueto, perchè l'espressione \vL(u) — 

 — uM(v)\ f/er, in cui L(u) e M(y) sono le espressioni aggiunte integro-diffe- 

 renziali, non è dififerenziale esatta come nella teoria delle equazioni diffe- 

 renziali, ma si distingue da quella forma per mezzo di un termine il quale 

 s'annulla solo quando viene integrato sopra tutto il campo o\ Nè si riduce 

 per il metodo della moltiplicazione simbolica ad una funzione di Green, 

 perchè in quel metodo, che s'applica alle equazioni integro-differenziali in 

 cui la variabile di integrazione non comparisce fra quelle di differenzia- 

 zione, si ha, colla moltiplicazione simbolica, ma non con quella ordinaria 

 che rjL(£) — M(i?) £ = 0. Ma d'altra parte la funzione data dalla (12) si 

 esprime in forma chiusa per mezzo della funzione di Green per l'equazione 

 differenziale, e le funzioni di Green simboliche non hanno apparentemente 

 quel vantaggio. 



Matematica. — Sull'esistenza della soluzione, in problemi 

 di calcolo delle variazioni. Nota di Leonida Tonelli, presentata 

 dal Socio S. PlNCHERLE. 



I teoremi che finora si conoscono, circa l'esistenza del minimo per l'in- 

 tegrale Fds, presuppongono tutti la condizione fondamentale dell'essere 



Jc 



la P funzione costantemente positiva, non nulla. Si presentano però alcuni 

 problemi per i quali l' ipotesi suddetta non risulta del tutto verificata, pro- 

 blemi cioè in cui la F, pur restando di segno costante, può anche annul- 

 larsi nel campo che si considera. Un caso particolare importante, in cui 

 appunto si va incontro all'annullamento detto, viene studiato nella prima 

 parte della presente Nota. E vi si dimostra l'esistenza del minimo se l' in- 

 tegrale è del tipo | f{y) ds , con f{y) funzione non negativa e non decre- 

 scente. Questa proposizione trova applicazione in molti problemi anche clas- 

 sici, come, per esempio, quello della superficie d'area minima generata dalla 

 rotazione, intorno ad un asse, di una curva passante per due punti dati. 



