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Nella seconda parte della Nota si prende in considerazione un'altra 

 singolarità degli integrali da render minimi. In tutti i ragionamenti del 

 metodo classico del calcolo delle variazioni, ed anche in quelli che siamo 

 andati sviluppando nei nostri precedenti lavori, si sappone sempre che la 

 funzione da integrare resti costantemente finita e continua. Possono peraltro 

 presentarsi casi (anche comuni) in cui la finitezza della funzione integranda 

 viene a mancare. Per convincersene, basta pensare al problema che ha dato 

 origine al calcolo delle variazioni : a quello della brachistocrona di un punto 

 pesante. Se ci si mette nell' ipotesi, che sembra la più semplice, del punto 

 abbandonato con velocità iniziale nulla; si è condotti precisamente a render 

 minimo l' integrale di una funzione che è infinito proprio nella posizione 

 iniziale. Per problemi di questa natura dò un teorema d'esistenza (n. 5), 

 sotto condizioni che facilmente si verificano. 



1. Occorre premettere il 



Lemma. — Sia G una varietà di curve continue, rettificabili, date 

 in un campo limitato. Se esistono due direzioni distinte, tali che ogni 

 parallela all'una o all'altra contenga, di ciascuna curva della varietà, 

 oltre a tratti continui, solo un numero di punti sempre minore di un 

 numero /isso K — allora le curve della varietà hanno lunghezze tutte in- 

 feriori ad uno stesso numero, e la varietà è compatta ( 1 ). 



Si costruisca un parallelogramma che contenga in sè tutte le curve 

 della varietà data e i cui lati abbiano le due direzioni di cui sopra. Siano 

 a e b due suoi lati consecutivi, e se ne indichino le lunghezze con le stesse 

 lettere. Considerata una qualunque curva C di G-, si osservi che, per la 

 sua rettificabilità e per un noto teorema di Cantor, è numerabile l'insieme J 

 delle parallele ad uno qualunque dei lati a o b che ne contengono un tratto 

 continuo (arco). Si inscriva arbitrariamente a C una poligonale P, il cui 

 lato generico indicheremo con l. Se l non ha la direzione di b, una paral- 

 lela qualunque a questo lato del parallelogramma o non l' incontra o l' in- 

 contra in un sol punto. Nel secondo caso, la retta considerata, se non appar- 

 tiene a J, incontra certamente l'arco di C che corrisponde a l (e che ha 

 gli stessi estremi) in almeno un punto non appartenente a tratti comuni 

 alla retta ed alla curva. Ne viene che ogni retta parallela a b e non fa- 

 cente parte di J incontra P in un numero di punti isolati eventualmente 

 nullo, ma sempre inferiore a K. E se ne deduce che, considerando i valori 

 assoluti delle proiezioni dei lati di P su a, fatte nella direzione data da b, 

 la loro somma resta inferiore a Ka, perchè nessun tratto del lato a può 

 essere la proiezione di lati o parti di lati di P in numero uguale o supe- 

 riore a K . Se infatti, così fosse, vi sarebbe, per la numerabilità di J una 



(/) Per la definizione di insieme compatto, vedi M. Fréchet, Sur qvelques point 

 du calcai fonctionnel (Rend. Circ. mat. di Palermo, tom. XXII, 1906). 



