— 862 — 



retta (anzi, infinite) parallela a b, non appartenente ad J, che incontrebbe P 

 in un numero di punti isolati maggiore o eguale a K. Analogamente dicasi 

 per le proiezioni su b, fatte nella direzione a. Se ne conclude che il peri 

 metro di P è inferiore a K(a -f- b), ed anche, essendo P arbitrariamente 

 inscritto in C, che la lunghezza di C è pur essa inferiore a K(a , b). Il 

 lemma è così dimostrato. 



2. Sia f(y) una funzione finita e continua, sempre positiva o nulla, e 

 non decrescente. Si considerino (per ora) un campo convesso A (tale cioè che 

 il segmento determinato da due suoi punti qualunque giaccia ancora nel 

 campo) ed una curva C arbitraria, continua, rettificabile, congiungente due 

 punti P 0 e P, , e appartenente per intero al campo A . Si inscriva nella C 

 una poligonale jt, in modo che si abbia 



f{y)ds — j f{y)ds 



con e numero prefissato, n risulta appartenente al campo A . Si operi su n 

 come segue. Si sopprima quella parte massima di jt, che eventualmente con- 

 giungesse il primo suo vertice con un altro punto della parallela all'asse y 

 passante per quel vertice stesso, e la si sostituisca col segmento rettilineo 

 avente gli estremi del pezzo di poligonale soppresso. La nuova poligonale 



così risultante rende l'integrale della f minore di f fds. Su essasi operi 



come sulla n , passando al terzo vertice, oppure al secondo, se la poligonale 

 coincidesse con n . Si operi ugualmente sull'altra poligonale risultante, re- 

 lativamente al quinto vertice (oppure al quarto), e così via. Si giungerà, 

 in tal modo, a sostituire la primitiva n con un'altra poligonale jt', congiun- 

 gente gli stessi punti P 0 e P, , che soddisfa alla f.fds^. f f ds (l'uguale 



sussistendo solo nel caso ri = jt) e per la quale si presenta questo fatto: 

 ogni parallela all'asse y o non l' incontra affatto o l' incontra in un sol punto, 

 oppure contiene un suo lato ed esso solo. Si ha poi 



r fd S < r fd S + 



1 tw' in 



Si sostituiscano ora le parti di n' che hanno ambedue gli estremi sulla 

 parallela all'asse x condotta per P 0 , e che rimangono tutte al di sopra di 

 essa, coi segmenti rettilinei determinati dagli estremi stessi. Sulla nuova 

 poligonale si operi come sulla jt', ma relativamente alla parallela condotta 

 per il terzo vertice (oppure per il secondo, se essa poligonale coincidesse 

 con ti'); e così via. Si giungerà ad una poligonale jt", congiungente P 0 e P lt 



e soddisfacente a queste condizioni: a) fds <. f ds <C fds-\-s\ 



Jn" Jn Jc 



