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/?) ogni parallela all'uno o all'altro degli assi coordinati l'incontra in uno 

 o due punti isolati al massimo, potendo eventualmente contenere anche un 

 suo lato. 



3. Quello che si è fatto nell' ipotesi del campo convesso, si può ripe- 

 tere, con qualche maggiore complicazione, per un campo A qualsiasi, a con- 

 nessione semplice o no, e avente un contorno composto di un numero finito 

 di archi di curve, che per comodità supporremo analitiche. Allora ogni retta 

 del piano conterrà, del contorno, eventualmente qualche arco ed un numero 

 di punti isolati sempre inferiore ad un numero fisso; e presa una curva 

 continua, rettificabile C del campo, congiungente, punti P 0 e Pi , e fissato 

 un f, sarà sempre possibile sostituire la C con altra curva C, pure del 



campo e congiungente gli stessi punti P 0 e P! , in modo che: a) sia fds<C 



Jc' 



<C fds-\-e; §) ogni parallela a l'uno o all'altro degli assi contenga di C 



c 



eventualmente degli archi e dei punti isolati, i quali ultimi in numero 

 sempre inferiore ad un numero fisso (qualunque sia C e f), dipendente solo 

 dal contorno del campo. 



4. Dopo ciò e giovandoci del lemma del n. 1, è facile stabilire l'esi- 

 stenza del minimo per l' integrale della f nel campo A e per tutte le curve 

 che congiungono i punti P 0 e V x . Si scelga, infatti, una successione di curve 

 Gì , C 2 , ..... ; C„ , .... della classe detta e tali che il limite, per n = co, di 



fds sia il limite inferiore dell' integrale della f nella classe stessa. Preso 



poi un qualsiasi numero s , positivo, arbitrario, si determini una curva 

 di A, che congiunga P, e P, e soddisfi alla disuguaglianza 



L fds< fds-\- £ - , 



ed alla condizione /S) del numero precedente. È di conseguenza 



lim I , fds — lim J fds , 



e le C', ammettono (n. 1) una curva limite C, almeno. Ma, per essere 

 f(y) -> 0, l'integrale della /' è una funzione semicontinua, inferiormente, 

 della linea d' integrazione ( 1 ). È dunque 



fds <. Min lim \ ,fds = \\m I fds, 



(') H. Lebesgue, Jntégral, Langueur, Aire, n. 83 (Annali di Matem., 1902). Una 

 proposizione più generale è questa: «Se: 1°) è sempre F,(x , y , x' , y') 0, dove F, è 

 l'inTariante di Weierstrass della solita funzione F del calcolo delle variazioni; 2°) nei 



Rendiconti. 1913, Voi. XXII, 1° Sem. 112 



