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donde fds = lim fds ; e la curva C dà il minimo cercato. Si ha così 

 la proposizione: 



Se nel campo A del n. 3, è f(y) >l 0, con f(y) funzione finita e con- 

 tinua non decrescente, allora, fra tutte le curve continue, rettificabili 

 che congiungono due qualsiasi punti P 0 e Pj di A, ve riè sempre almeno 



Questa curva, eccettuati al più i punti che ha sulla retta f{y) = 0, 



soddisfa all'equazione differenziale di Eulero in tutti i suoi archi interni 

 al campo. 



Il teorema precedente si applica, per esempio, alla ricerca del minimo 



dell'integrale ìyds, al quale si è condotti nel problema della superficie 



di rivoluzione d'area minima. 



5. Occupiamoci ora dell'altra questione cui abbiamo accennato nell'in- 

 troduzione. 



Sia la funzione f(x , y) finita e continua e maggiore di zero in tutti 

 i punti del campo limitato e chiuso B, ad eccezione di quelli di un certo 

 insieme E, nei quali diventi infinita; e precisamente, il comportamento 

 della f nell'intorno dei punti di E sia tale che, preso un punto qualunque P 

 di quest' insieme e un numero M positivo, grande a piacere, si possa sempre 

 corrispondentemente determinare un numero positivo q in modo che sia, per 

 ogni punto {xy) di B, non appartenente ad E e interno al cerchio (P , q), 



Consideriamo due punti qualsiasi P 0 e Pi di B, appartenenti o no ad E, 

 e l'insieme G delle curve C continue rettificabili di B che congiungono P 0 . 

 e P, . che contengono di E al più un sottogruppo (che potrebbe eventual- 

 mente coincidere anche con E stesso) la cui misura lineare, contata dalla 

 curva che si considera, sia nulla ('); ed in modo anche che l'integrale 



punti ove è F! = 0 è F = 0, identicamente per ogni valore di x' e y'\ ed inoltre esiste 

 per ognuno di tati punti un intorno in cui è sempre F-^0; allora l'integrale della F 

 è funzione semicontinua inferiormente della linea d'integrazione ». Per la dimostrazione 

 si procede in modo analogo a quello seguito al n. 12 della mia Memoria, Sul caso re- 

 golare del calcolo ielle variazioni (Rend. Circ. mat. di Palermo, 1913). 



C 1 ) Ciò significa che è possibile racchiudere il sottogruppo in un insieme fi i. ito o- 

 inimerabjle di archi della curva detta in modo che la somma delle lunghezze di tali, 

 archi sia minore di un numero arbitrariamente scelto. 



una che rende minimo l'integrale fds . 



f(x,y)>M. 



