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J f(x,y)ds esista determinato e finito (adottiamo qui la definizione d'in- 

 tegrale del Lebesgue). Ci proponiamo di dimostrare che 

 fra tutte le curve di G esiste il minimo per l'integrale f(x,y)ds. 



Sia i il limite inferiore per l'integrale sopra scritto in G, e Ci,C 2 ,... C„,... 

 una successione di curve di G per le quali sia lim fds— i. L'insieme E 



Jc n 



è necessariamente chiuso. È perciò possibile determinare, corrispondentemente 

 ad un numero positivo arbitrario M, un q u tale che la disuguaglianza /^>M 

 sia verificata in tutti i punti interni a B, non di E, che appartengono ad 

 almeno uno dei cerchi (P , q m ), dove P è un elemento qualsiasi di E. Inoltre, 

 per un noto teorema di Borei, è possibile scegliere un numero finito di 

 punti di E: P (1) , P <2) , ... F (r) , in modo che nei cerchi (P (1) , g M ) , ... (P (r \ q*) 

 siano contenuti tutti i punti di E . Nella porzione di B non interna a questi 

 cerchi la f(xy) è finita e continua e maggiore di zero: è quindi possibile 

 determinare un numero m ^> 0 tale che in essa sia sempre f^> m. Abbiamo 



perciò, poiché M lo si potrà sempre prendere maggiore di m, fds^>m ds, 



Mimlim ds <T — . 



Jc n m 



Risulta così che tutte le lunghezze delle C„ restano inferiori ad un numero 

 fisso : le C„ formano dunque una varietà compatta ed è possibile estrarre 

 fra esse un'altra successione C[ , C' 2 , ... C' nì ... tendente ad una curva limite C. 

 Questa C sarà necessariamente rettificabile. Occorre mostrare che appartiene 

 a G . L' insieme E' dei punti di E che si trovano su C ha una misura li- 

 neare, contata sulla C, nulla. Infatti, supposto il contrario e detta ,u 0 

 la misura, risultando E' chiuso anch'esso, sarà possibile rinchiudere i punti 

 di E' con un gruppo finito di archi a di C, le cui lunghezze abbiano una 

 somma maggiore di /*, , ma diversa da n per quanto poco si vuole. Cosicché 

 in tutti i punti di B appartenenti ai cerchi di raggio \ g M ed aventi il 

 centro sugli archi a, sarà f^>M. 



Indichiamo con (« , | q m ) la regione formata da tutti questi punti. In- 

 dichiamo poi con a n gli archi della curva C' n che cadono interamente in 

 (a , 4 Qm), e con «„ la somma delle loro lunghezze. È evidentemente, Mim- 

 lim a w >/i. Il contributo degli archi a n in , fds è maggiore di M« n , 



e quindi, da un certo n in poi, maggiore di Mjj.. M è arbitrario, e se lo 



2 i 



scegliamo in modo che sia M > — , avremo che, da un certo indice n in 

 poi, il contributo detto sarà maggiore di 2i, e quindi: f,fds^>2i. Questo 



