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è assurdo perchè la successione è scelta nella C„ , e l' integrale calcolato 

 sulla C M tende ad i. fi, dunque è zero. 



L'integrale ) fds esiste determinato e finito. Invero, diciamo § gli 



*-J c 



archi di C complementari di quelli a. Poiché le curve tendono alla C, 

 è possibile porre fra CI, e C una corrispondenza biunivoca, continua e ordi- 

 nata, in maniera tale che il punto di G' n che corrisponde ad un punto P 

 di C , tenda a questo al crescere all' infinito di n . Allora, agli archi /9 ver- 

 ranno a corrispondere degli archi fi n su G' n , i quali tenderanno ai § per 

 n = cc. Consideriamo un arco § e il suo corrispondente Sul primo la f 

 resta sempre finita e continua; possiamo perciò circondarlo con una regione 

 nella quale la f seguiti sempre a restar tale. E poiché è f^>0, avremo 



Jl fds <. Mimlim £ fds, ed anche sommando relativamente a tutti i /? 



2 



Da ciò si deduce 



fds < Mimlim 2 J_ fds . 

 j_ fds .< Mimlim fds = i 



ed anche, facendo tendere a zero la somma degli intervalli «, che esiste il 

 limite di 2 \_fds, determinato e finito. Con ciò è dimostrata l'integrabi- 



lità della f sulla C. Questa curva appartiene così all'insieme G. Kesta a 

 mostrarsi che il suo integrale è uguale a i. Ma questo risulta subito dalla 

 ultima disuguaglianza scritta, per essere l'integrale calcolato sulla C il li- 

 mite di -^J^ fds, quando gli archi a tendono in somma a zero. Il teorema 



è dunque dimostrato. 



Se la f nei punti nei quali è finita e continua ammette anche le de- 

 rivate parziali prime, pure finite e continue, allora la curva minimum (che 

 non è necessariamente unica), gode di questa proprietà: ogni suo arco in- 

 terno a B e non contenente punti di E. soddisfa all'equazione differenziale di 

 Eulero, relativa al problema qui considerato. 



Nel caso della brachistocrona a velocità iniziale nulla, l'insieme E è 

 formato da tutti i punti dell'asse x (se questo è orizzontale, e l'origine è 



Cds 



nel punto iniziale del movimento). L'integrale da render minimo è —= , 



VV 



e le condizioni del nostro teorema sono soddisfatte. 



6. Osservazione. — Tutti i risultati dati precedentemente valgono 

 anche se si sostituiscono le curve che congiungono due punti fissi con quelle 

 che congiungor.o due date linee; ed ancora se si sostituiscono con le curve 

 chiuse che circondano, per es. certi spazi lacunari. 



