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M. le vicomte d'Adhémar communique à la section, la Note 

 suivante : Sur une équation aux dérivées partielles à caractéristiques 

 réelles et en expose les principaux résultats. 



Les équations aux dérivées partielles ont été étudiées à deux 

 points de vue bien différents. 



D'une part, au point de vue de Gauchy, tous les élémènts de la 

 question sont analytiques (développantes en séries de Taylor), l'on 

 atteint l'équation la plus générale mais l'on n'obtient l'intégrale 

 que dans un champ restreint, avec la conviction que le domaine 

 d'existence de la fonction intégrale est, en général, bien plus 

 étendu que ce champ de convergence certaine des séries trouvées. 



D'autre part, une autre école a pris des équations du second 

 ordre et de forme simple, avec des conditions aux limites données 

 pour l'intégrale et elle s'est proposé d'obtenir explicitement l'inté- 

 grale réelle, analytique ou non, et de reconnaître le domaine 

 d'existence de cette intégrale. A cet ordre d'idées appartient le 

 célèbre Problème de Dirichlet. 



Le premier point de vue nous l'appellerons Problème </< j Cauchy 

 et le second sera désigné sous le nom de Problème Réel. 



Il est des points de contact entre les deux Problèmes : un 

 élément fondamental lié à une équation aux dérivées partielles la 

 (ou : les) caractéristique, au point de vue du Problème de Gauchy 

 va jouer encore un rôle fondamental dans le Problème Réel. C'est 

 un fait que rien, à -priori, ne faisait prévoir. 



Au point de vue de Gauchy, les caractéristiques des équations 



(1) g ± 



sont définies par les relations 



(2) dx* ± dif = 0. 



L'on dit que l'équation (1) est elliptique si l'on prend le signe +, 

 hyperbolique dans le cas contraire. 



Une équation du type elliptique peut être intégrée si l'on donne 

 les valeurs de u sur une courbe fermée du plan (x, y). 



