En reprenant, il y a un an, l'étude de cette équation, j'ai reconnu 

 immédiatement que les cônes (A) sont parmi les multiplicités 

 caractéristiques telles que les a définies M. J. Beudon (*) dans le 

 cas des équations à plus de 2 variables indépendantes. 



Les plans inclinés à 45° sur l'horizon font aussi partie des carac- 

 téristiques de M. Beudon. 



J'ai reconnu que ces plans comme ces cônes, multiciplités 

 exceptionnelles pour le Problème de Cauchy, sont encore excep- 

 tionnelles pour le Problème Réel (**). 



Il a plané un certain doute, pendant longtemps, sur la manière 

 dont la notion de caractéristique devait être étendue au cas où le 

 nombre des variables dépassait 2. Le point de vue de M. Beudon 

 ne paraissait pas pleinement satisfaisant à M. Goursat (***), 

 préoccupé surtout d'appliquer la belle méthode d'intégration de 

 M. Darboux. 



Il me semble que les quelques résultats que j'ai pu obtenir sur 

 l'équation (A) aideront à montrer le grand intérêt des idées de 

 M. Beudon. 



Je crois que cela ressortira aussi des remarquables travaux 

 dont s'occupe, en ce moment, M. l'abbé J. Goulon. 



Après ces quelques mots sur le rôle fondamental des caractéris- 

 tiques dans le Problème Réelle dois dire encore que la Méthode des 

 approximations successives est la méthode toute naturelle d'intégra- 

 tion dans ce problème. Elle consiste, on le sait, à déduire de l'inté- 

 grale d'une équation où le second membre est fonction des seules 

 variables, l'intégrale de la même équation où le second membre 

 peut renfermer la fonction inconnue et certaines de ses dérivées. 



Par cette méthode, M. Picard a intégré les équations telles que : 



bu 2 , b 2 u bu 



a >j + V +eB + / 



(a, b, c, f étant fonctions de x et y). 



(•) Société mathématique de France, t. XXV, 1897. 



(**) Comptes rendus, 11 février 1901, note de l'auteur. Société mathématique 

 de France, juin 1901, note de l'auteur. 



(***) M. E. Goursat, Leçons sur les équations aux dérivées partielles du second 

 ordre, t. II, p. 330, Paris, Hermann. 



