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M. De Tilly fait un exposé des principes de la note suivante Sur 

 nue ir'njonoméh-ie non symétrique. 



Depuis quelque temps, on a soulevé dans plusieurs publications 

 mathématiques, une question digne des méditations des géomètres 

 philosophes, et que Ion peut énoncer ainsi : Est-il possible d'éta- 

 blir les cas d'égalité des triangles plans, quelle que soit la disposi- 

 tion relative des éléments égaux, sans invoquer, ni le retournement 

 du plan, ni le postulatum d'Euclide? 



Dans les traités ordinaires, on invoque (quelquefois sans le dire) 

 le retournement du plan et c'est la méthode qu'il faudra conserver 

 dans l'enseignement, mais en appelant l'attention sur les prin- 

 cipes admis, au lieu de les dissimuler. 



Si l'on s'interdit de retourner le plan, les raisonnements 

 deviennent plus difficiles. 



Dans l'hypothèse de celui qui nierait les propositions à démon- 

 trer, et qui n'admettrait l'égalité que pour des figures superpo- 

 sables sans retournement, on obtiendrait une géométrie plane 

 très singulière, que l'on peut appeler géométrie non symétrique. 

 Les deux triangles, obtenus en joignant deux points, symétriques 

 par rapport à une droite, à un point quelconque de l'axe de symé- 

 trie, non seulement ne seraient pas superposables (parce qu'il est 

 interdit de retourne]- le plan), mais ne seraient pas même égaux 

 dans toutes leurs parties. La même figure peut s'interpréter 

 autrement : Si, en un point de la bissectrice d'un angle, on lui 

 mène une perpendiculaire qui rencontre les deux côtés, les deux 

 longueurs interceptées ne seront pas égales, ce qui peut s'exprimer 

 en disant que les deux côtés d'un angle ne jouissent pas des 

 mêmes propriétés. 



Il s'agirait donc de démontrer l'impossibilité de cette géométrie 

 non symétrique. 



Il peut sembler assez étonnant que le postulatum d'Euclide joue 

 un rôle dans cette question. Cependant M. Tarry a démontré, dans 

 un article remarquable, publié par Mathesis (*), que ce postulatum 

 peut remplacer le retournement du plan. 



L'exposition assez compliquée de M. Tarry peut-elle être simpli- 

 fiée? Peut- elle, surtout, être rendue indépendante de l'emploi 



(*) Mathesis, avril 1901, pp. 89 à 92. 



