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dés parallèles, sans cesser d'être strictement élémentaire? C'est 

 une question qui reste en litige, et que je ne me propose pas de 

 traiter aujourd'hui. 



M. Mansiona fait observer (*) qu'en 1870 j'ai déclaré que le 

 retournement (et à fortiori le postulatum d'Euclide) n'est pas 

 nécessaire pour démontrer l'égalité des figures planes. 



Je basais cette appréciation sur mon mémoire de 1868 (Études 

 de mécanique abstraite), dans lequel j'établissais à priori les for- 

 mules de la trigonométrie plane, d'où il était facile alors de 

 déduire les cas d'égalité des triangles. 



M. Barbarin (**) a mentionné également cette solution du pro- 

 blème. Tout en remerciant mes deux savants collègues d'avoir 

 rappelé ma priorité dans cette question, que je crois encore avoir 

 bien résolue, je vais présenter moi-même une objection contre ma 

 méthode, objection que je pourrai heureusement lever d'une 



Dans mon mémoire de 1868 je définissais ainsi le cosinus d'un 

 angle : 



u C'est la quantité constante par laquelle il faut multiplier une 

 vitesse, dirigée suivant l'un des côtés de cet angle, pour obtenir sa 

 composante suivant l'autre côté, lorsque la seconde composante 

 passe par le sommet de l'angle et qu'elle est perpendiculaire à la 

 première. , 



Or, dans l'hypothèse du contradicteur, qui établit une géométrie 

 plane non symétrique, où les deux côtés d'un angle ne jouissent 

 pas des mêmes propriétés, la trigonométrie doit également man- 

 quer de symétrie, et dès lors il n'est pas évident que la décompo- 

 sition d'une vitesse se fasse de la même manière, quel que soit le 

 côté de l'angle par lequel on commence. 



Pour tenir compte de cette objection, j'appellerai cosinus d'un 

 angle la quantité constante par laquelle il faut multiplier une 

 vitesse, dirigée suivant le côté gauche de cet angle (***) pour obtenir 



