I. Dans son Essai sur les fondements de la Géométrie (édition 

 française, pp. 159-162), Russell fait remarquer que l'on peut déduire 

 toute la géométrie projective du théorème suivant : Si deux trian- 

 gles ABC, DEF situés dans deux plans différents sont tels que AD, 

 BE, CF se rencontrent eu un point 0. les côtés AB et DE, BC et EF, 

 GA et FD se coupent en trois points L, il, N situés sur la droite 

 d'intersection des plans ABC, DEF et réciproquement. La démons- 

 tration de ce théorème est facile en géométrie riemanienne où 

 deux droites d'un plan se rencontrent toujours et où deux plans 

 se coupent toujours. Mais en géométrie euclidienne, on doit consi- 

 dérer de plus le cas où les plans ABC, DEF sont parallèles et celui 

 où les droites AD, BE, GF, sont parallèles; autrement dit, on doit 

 pouvoir supposer à l'infini la droite LMN, ou bien le point 0. En 

 géométrie lobatchefskienne, on doit aussi considérer les cas où la 

 droite LMN ou bien 0 est à l'infini; en outre, on doit examiner 

 celui où LMN est une droite idéale, ou bien celui où 0 est un 

 point idéal, c'est-à-dire les cas où ABC, DEF ont une normale 

 commune, et où AD, BE, CF sont perpendiculaires à un même 

 plan. On ne peut donc démontrer le théorème fondamental de la 

 géométrie projective de la manière indiquée plus haut, sans faire 

 la distinction des trois branches de la métagéométrie, dislim lion 

 qui appartient à la géométrie métrique. La géométrie projective 

 n'est donc pas indépendante de la géométrie métrique, quand on 

 la base sur le théorème énoncé plus haut. 



II. M. Fr. Schur a publié sur les bases de la géométrie projec- 

 tive un article remarquable (Mathematische Annalen, 1891, 

 t. XXXIX, pp. 113-124), spécialement loué par M. F. Klein dans 

 son rapport sur le prix Lobatchefsky (Bulletin de la Société phy- 

 sico-mathématique de Kazan, 1897). La démonstration du théorème 

 tmulaiiH'iilal de M. Schur (pp. 115-117) ne diffère pas essentielle- 

 ment de celle qui est reproduite par M. Russell ; mais l'auteur 

 effectue toutes les constructions dont il a besoin dans un espace 

 limité, où les droites considérées dans un plan et les plans considé- 

 rés dans l'espace se rencontrent toujours. Les éléments géomé- 

 triques (points, droites, plans) inaccessibles, c'est-à-dire situés en 

 dehors de cet espace limité, sont regardés comme des éléments 

 improprement dits (l'imUm les appelle idéaux); leur définition et 

 leurs propriétés sont établies artificiellement comme celles des 



