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se trouve alternativement dans le premier et dans le second des 

 deux cas. Le théorème énoncé en résulte immédiatement. 



4° Soit a un nombre positif distinct de chacune des quantités 

 è 2 , . . ., £> n _i (n° 3), la cassinoïde 



\f{z)\ a 



se compose d'un ou de plusieurs contours fermé*, et s'il // a plusieurs 

 contours, ceux-ci sont extérieurs les uns aux autres. A l'intérieur de 

 chacun d'eux, on a 



\M\ < « 



et dans la région unique extérieure à tous les contours, l'inégalité est 

 Soit A une des régions d'un seul tenant dans laquelle on a 



\m\ < «; 



cette région ne pouvant s'étendre à l'infini, sera limitée extérieu- 

 rement par un contour fermé appartenant à la cassinoïde 

 \f{z)\ = a et cette courbe sera sans point multiple. De plus, la 

 région A ne peut être à contour complexe. En effet, dans le cas 

 contraire, elle enfermerait une région B où l'on aurait \f(z)\ > « 

 et le module de f(z) devrait avoir dans cette région B un maxi- 

 mum, ce qui est impossible. Donc la région A est limitée par un 

 contour fermé simple. Le même raisonnement s'appliquant à toutes 

 les régions analogues, on en conclut le théorème énoncé. 



5° Lorsque a est égal à Vune des quantités b k , on rencontre un cas 

 limite du précédent ; la cassinoïde 



\M\ - h 



se compose encore de contours fermés extérieurs les uns aux autres, 

 mais il arrive que deux ou plusieurs contours se réunissent en un 

 point commun, racine de f(z). On peut concevoir que deux ou plu- 

 sieurs contours simples s'y touchent par leurs points anguleux, 

 comme cela a lieu dans les figures ci-contre. 



