III. Une courbe fermée sur laquelle le module de f(z) est constam- 

 ment < b k , ne peut contenir plus de (n — k) racines de f(z). 



En effet, cette courbe a tous ses points à l'intérieur de la cassi- 

 noïde 



\f(z)\ « 



Celle-ci se compose au moins de k + 1 contours séparés (6°) 

 renfermant chacun au moins une racine. La courbe considérée 

 étant intérieure à l'un de ces contours, il en reste au moins k à 

 l'extérieur et, par suite, il reste au moins k racines à l'extérieur de 

 cette courbe. 



IV. En particulier, une courbe fermée sur laquelle le module de 

 f(z) reste inférieur à la plus petite b n _i des quantités b h , ne peut 

 contenir qu'une seule racine de f(z). 



Ce dernier théorème peut donner un critérium commode pour 

 la séparation des racines. 



V. Une courbe fermée sur laquelle le module de f{z) reste compris 

 entre deux quantité* consécutives b k et b k+l et qui contient p racines 

 de f{z) en contient {p — 1) de la dérivée. 



En effet, cette courbe sera située tout entière dans l'espace 

 annulaire, compris entre deux contours intérieurs l'un à l'autre 

 des deux cassinoïdes 



\m\ - K + l - €, \M\ = h + e. 



Entre ces deux contours, il n'y a aucune racine de f(z) ni de 

 /»• Donc la courbe renferme autant de racines de l'un et de 

 l'autre polynôme que les contours correspondants de ces cassi- 

 noïdes. Le théorème résulte alors de la propriété (7°) de ces 

 conteurs. 



§ % — Propriétés des trajectoires. Conséquences. 



7. Les courbes sur lesquelles l'argument de f{z) est constant, 

 sont,on le sait, les trajectoires orthogonales des courbes considérées 

 Précédemment. C'est pourquoi nous leur donnerons le nom général 

 <ïe trajectoires. 



