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Ces trajectoires jouissent de propriétés qui correspondent à 

 celles des cassinoïdes et qui se démontrent d'une manière tout à 

 fait analogue. 



1° Par tout point z 0 du plan non racine de f(z), passe mie trajec- 

 toire gui a pour équation 



arg. f(z) = arg. f(z 0 ). 



2° Si ce point z 0 n'est racine ni de f(z) ni de f{z), c'est un point 

 ordinaire pour la trajectoire qui y passe. Celle-ci a une tangente 

 unique bien déterminée en ce point. Si on parcourt la trajectoire dans 

 le voisinage de ce point, le module de f(z) va en croissant dans un 

 sens et en décroissant dans Vautre. 



3° Si le point z 0 est une racine d'ordre k de multiplicité pour 

 }'(z), la trajectoire passant par ce point y possède un point multiple 

 il' ordre k + 1. On peut alors, à partir du point z 0 , se déplacer sur 

 la trajectoire dans <È{k + 1) directions différant successivement 

 entre elles d'un angle £~qpj; • Si l'on considère successivement ces 

 diverses directions consécutives, le module de f(z) va alternativement 

 en croissant et en décroissant quand on s'éloigne du point z 0 . 



4° Si le point z 0 est racine def(z), l'argument de f(z 0 ) est indéter- 

 miné. Il y a, dans ce cas, une infinité de trajectoires passant par ce 

 point et il y en a une correspondant à toutes les valeurs possibles que 

 l'on peut assigner à l'argument de f(z). Mais chacune de ces trajec- 

 toires présente en z 0 un point d'arrêt. 



Soit, en effet, 9 une valeur quelconque assignée à l'argument de 

 f{z) et considérons la trajectoire 



arg. f(z) = 6. 



Soit z 0 = a, et posons « = o, + A;on aura, si h est infini- 

 ment petit, 



arg.ft*) = arg. h + g arg. (a, - a*). 

 On en déduit toujours une valeur et une seule de arg. h pour 



