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Je dis que ces trajectoires décomposent le cercle en un régions, 

 telle* qu'il y ait une racine de f(z) et une seule sur la frontière </*■ 

 chacune d'elles et que chacune de ces régions ait une partie de sa 

 frontière et une seule sur la circonférence limite. 



Soit A une quelconque des régions dans lesquelles on a décom- 

 posé le cercle et soit z 0 un point situé à l'intérieur de cette région. 

 Par le point z 0 passe une trajectoire qui part d'une racine a de 

 f{z) et vient rencontrer la circonférence limite. Désignons cette 

 trajectoire par 



arg. f(z) = 9. 



Si l'on fait croître ou décroître 9 d'une manière continue, la 

 trajectoire se déforme et se déplace en tournant autour de la 

 racine a et cela d'une manière continue aussi longtemps qu'elle ne 

 vient pas rencontrer une racine de f(z). Supposons que 6 tombe 

 entre les deux valeurs successives t, et t 2 . Si on fait varier cet 

 argument de i l -j- e à t 2 — e, la trajectoire balayera tout un 

 secteur ayant son sommet au point a et terminé à la circonférence 

 limite. En supposant e infiniment petit, ce secteur s'étendra à 

 toute la région A que l'on examine. Comme le module de f(z) est 

 constamment croissant quand on parcourt les trajectoires d'argu- 

 ment Tl + e et t 2 — e issues de la racine a, il ne peut y avoir 

 d'autre racine sur la frontière de A. Le théorème est donc prouvé 

 en ce qui concerne la nature des diverses régions. 



Quant au nombre des régions, il y en a u autour de chaque racine 

 et comme une même région ne peut avoir deux racines sur sa 

 frontière, il y aura en tout un régions. 



9. Les frontières de ces diverses régions établissent alors une 

 connexité entre les diverses racines dont on peut formuler la 

 propriété fondamentale dans le théorème suivant que nous allons 

 démontrer : 



Étant données deux racines quelconques de f(z), on peut toujours 

 passer de l'une à l'autre en suivant les trajectoires frontières et on ne 

 le peut que d'une seule manière sans parcourir d'impasse. 



Chaque région est limitée par des portions de trajectoires et une 

 portion de la circonférence limite. Nous appellerons les premières 



