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aux trois diagonales du quadrilatère complet a 1 a 2 a 3 a i et égales 

 respectivement au tiers de la diagonale parallèle. 



3. Étant donné le quadrangle G^G^, comment peut-on en 

 déduire le quadrilatère a ï a 2 a 3 a i ? 



Le barycentre G du quadrangle est un point de la newtonienne 

 B^B^ en construisant les symétriques G;, G^, G 3 , G; des som- 

 mets du quadrangle par rapport à G, on obtient un point de cha- 

 cune des droites a M a 2 , a 3 , a 4 . Il suffit donc de connaître encore les 

 directions de ces lignes. 



Les droites qui unissent les milieux des côtés opposés du qua- 

 drangle G^GgG, étant parallèles et proportionnelles aux diago- 

 nales du quadrilatère a^^a^le problème est ramené au suivant: 



Construire un quadrilatère complet, connaissant trois lignes équi- 

 pollentes aux trois diagonales. 



Soient X x . X 2 , X 3 les points d'intersection des diagonales 

 (A 2 A 5 ,A 3 A 6 ), (A 3 A 6 , A^), (A â A 4 , A 2 A 5 ) du quadrilatère. Con- 

 naissant les directions de ces diagonales, on peut tracer un triangle 

 auxiliaire X;X 2 X 3 homothétique à X X X 2 X 3 ; si m{,m z ,m a sont les 

 longueurs des côtés de X;x;X 3 , celles de XiX 2 X 3 sont ç>m v pm v 

 pw 3 , p étant un facteur inconnu. Les côtés du triangle XjXgX, 

 sont divisés harmoniquement par les couples de points AjA 4 , 

 A 2 A 5 , A 3 A 6 , et les points A lt A 2 , A 6 sont en ligne droite ; par suite, 

 les droites X X A 4 , X 2 A 5 , X 3 A 3 concourent en un même point Y, 

 pôle trilinéaire de la droite A 2 A 6 par rapport au triangle de réfé- 

 rence X^X,. 



Appelons x„ x 2 , x 3 les coordonnées barycentriques de Y dans 

 le triangle X X X 2 X 3 . Nous aurons 



X A 

 A,X 



X ? A, 

 A X 



d'où l'on déduit d'abord 



X,A 4 - 



X 2 A, 



et ensuite 



A 4 A X = 



