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On en conclut que le problème admet deux solutions réelles si 

 l'on a 



(M _f_ xi _ X|) 2 - 4X 2 A1 > 0 



ou 



ni — 2ix 2 xi > o. 



Par suite, la plus grande valeur absolue des quantités X^X^Xj 

 doit être plus grande que la somme des deux autres. 



4. Pour résoudre le même problème, on peut s'appuyer sur la 

 proposition suivante : 



Si les côtés d'un triangle variable ABC pivotent autour de trois 

 points fixes A', B', G' de manière que le barycentre G du triangle mte 

 fixe, le sommet A décrit une conique passant par B' et G'. 



Pour démontrer ce théorème, prolongeons A'G de GD = 2AG; 

 la parallèle menée par A à BG passe constamment par le point D. 

 Mais cette parallèle, la médiane AG et les côtés AG, AB forment 

 un faisceau harmonique, qui détermine sur la droite B'G' une divi- 

 sion harmonique EFB'G'. Par conséquent, si l'on construit l'involu- 

 tion qui a pour éléments doubles les points B', C', on obtint une 

 position de A en projetant deux points conjugués quelconques EX 

 l'un à partir de D, l'autre à partir de G. Les deux faisceaux proje- 

 tants étant projectifs, l'intersection des rayons homologues 

 engendre une conique passant par les centres G, D des deux 

 faisceaux. 



