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Un couple EF de l'involution donne deux points A,Aj de la 

 conique, car on peut joindre G à F et D à E ou G à E et D à F. La 

 droite AAi passe par un point fixe K de GD; en effet, la diagonale 

 GD du quadrilatère complet EAjFA est divisée harmoniquement 

 par les deux autres EF, AA t en I et K. Soit L le conjugué harmo- 

 nique de I par rapport à B'G'; en remplaçant le couple EF par IL, 

 on voit facilement que GL et DL sont les tangentes en G et D à la 

 conique. Si l'on prend pour EF le couple BB' ou GG', on trouve que 

 B' et C' sont deux points de la courbe et que les tangentes en ces 

 points concourent en K. 



Cela posé, si l'on donne le quadrangle G,G 2 G 3 G 4 , on peut déter- 

 miner les points Gl, G 2 , G 3 , G 4 appartenant aux côtés a lf a 2 , a 3 , a 4 du 

 quadrilatère cherché. Connaissant les points G[, G 2 , G 3 des côtés du 

 triangle a x a 2 a z et le barycentre G 4 , construisons la conique lieu du 

 point a,a 2 ; cette courbe passe par G 4 , Gi, G 2 . Construisons encore 

 la conique lieu du sommet a x a t du triangle a x a t a 4 dont les côtés 

 passent par Gl, G 2 , G 4 et qui a pour barycentre G 3 . Ces deux coni- 

 ques qui ont deux points communs G[, G' 2 , se coupent encore en 

 deux autres points dont chacun peut être pris pour le point a x a r 

 Le problème s'achève maintenant facilement. 



5. Dans les triangles 



T 4 = A 1 A 2 A 3 , T 2 = A 6 A 2 A 4 , T 3 s A 5 A 3 A 4 , 



qui ont le côté commun a n traçons les médianes A^,, A 6 G 2 , A 5 G 3 

 qui correspondent à ce côté. Si \ x désigne le point à l'infini sur a„ 

 les médianes considérées sont les conjuguées harmoniques des 

 droites AJ,, A 6 I t , A 5 I, par rapport aux angles A^A^A^du 

 triangle T, == A X A 6 A 6 ; par suite elles rencontrent les cotes 

 opposés de T, en trois points de la polaire trilinéaire de I v Cette 

 polaire est tangente à l'ellipse inscrite à T t et ayant son centre 

 en G,. 



6. Dans les cercles circonscrits aux trois triangles T 4 , T 2 , ï 3 , 

 menons les rayons A t 0 4 , A 6 0 2 , A 5 0 3 par les sommets opposes au 

 côté commun a,. Ces droites sont les isogonales des hauteurs 

 A>H 4 ,A 6 H 2 ,A 5 H 3 par rapport aux angles A P A 6 , A 5 du triangle 

 T\; on en conclut qu'elles concourent en un même point D x qui est 

 l'inverse par rapport au triangle T t du point à l'infini dans la 



