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direction perpendiculaire à a r D t appartient à la circonférence 

 circonscrite au triangle Tj ; c'est le foyer de la parabole inscrite au 

 triangle et dont les diamètres sont perpendiculaires à a v 



On démontre facilement que les quatre points D 1? D 2 , D 3 ,D 4 

 sont les seconds points d'intersection des circonférences 0 lt 0 S , 



0 3 , 0 4 avec la circonférence qui passe par leurs centres. 



7. Menons en A n A 6 , A 5 les tangentes aux circonférences 



0 4 , 0 2 , 0 3 ;ces droites perpendiculaires aux rayons A^^ A f D„ 

 A r> D 1 concourent au point diamétralement opposé à D t sur la 

 circonférence O x . E x est le foyer de la parabole inscrite au triangle 

 T t et dont l'axe est parallèle à a,; c'est l'inverse du point l, par 

 rapport àT r 



Les propositions des §§ 5 et 6 sont connues; nous les avons 

 démontrées ici à cause de la propriété du § 7, due à Wetzig 

 (J. de Crelle, t. LXII, p. 351) qui l'a établie autrement. 



8. Soient K 1 ,K 2 ,K 3 ,K 4 les points de Lemoine des triangles 

 T n T 2 ,T 3 ,T 4 . 



Les symédianes A^,, A 6 K 2 , A 5 K 3 sont conjuguées harmoniques 

 des tangentes AJE,, A 6 E X , A 5 E 4 aux cercles 0 4 , 0 2 , 0 3 par rapport 

 aux angles A n A 6 , A 5 du triangle T, ; par suite elles rencontrent 

 les côtés opposés de T t en trois points appartenant à la polaire 

 trilinéaire du point E r Ce point étant situé sur la circonférence 0 1( 

 sa polaire passe par le point K r 



9. La théorie du centre des moindres carrés (point de Gauss) 

 d'un système de droites conduit à quelques autres propriétés assez 

 curieuses des points K n K 2 , K 3 , K 4 . 



Appelons K le point de Gauss du quadrilatère a l a i a 3 a i ; c'est le 

 point dont la somme des carrés des distances aux côtés du qua- 

 drilatère est minimum. Il est le barycentre de ses projections sur 

 ces côtés. 



Soient M n M 2 ,M 3 ,M 4 les symétriques d'un point quelconque Ji 

 par rapport à a 1 a,a 3 a 4 ; le barycentre M' de ces points est appelé le 

 hiirumitre symétrique de M. Les points M, M' se correspondent 

 dans deux figures symétriquement semblables 9, cp' ayant pour 

 point double le point K. Si N est un second point quelconque et 

 W son barycentre symétrique, le point K est à l'intersection de 

 deux droites rectangulaires KX, KY qui divisent les segments 

 MM', NN' l'une additivement, l'autre soustractivement dans le 



