15 



points d'abscisses positives par exemple, à l'aide la manière de 

 raisonner suivante : 



Supposons que le mouvement vibratoire qui doit se propager, 

 commence à l'origine pour t = 0. Il en résulte que quand t était 

 compris de — oo à 0, F était constamment nul. Mais cela devait 

 avoir lieu quel que soit x, c'est-à-dire x variant de 0 à + °°- Ces 

 conditions obligent la fonction O à être nulle pour les valeurs 

 négatives de sa variable seulement, et la fonction Y à être iden- 

 tiquement nulle pour toutes les valeurs de sa variable. La seule 

 fonction arbitraire restante O se détermine alors très simplement 

 et l'interprétation physique est immédiate. 



J'ai cherché à étendre cette façon de raisonner à la solution 

 générale (9) qui me semblait convenir mieux que (8). Je pensais, 

 en exprimant des conditions de même sorte que celles que je 

 viens de dire, pouvoir établir une relation entre q> et cp t . La seule 

 fonction arbitraire restante aurait été déterminée en se donnant F 

 à l'origine depuis t = 0 jusque t = ce. J'avoue que mes efforts 

 furent absolument inutiles, et j'en concluais qu'il serait bien diffi- 

 cile sans doute d'obtenir quelque résultat intéressant dans le 

 problème qui nous occupe. 



Fort heureusement M. Boussinesq à qui j'avais parlé du travail 

 que j'avais fait au sujet de l'équation (1), travail qui fait l'objet 

 des précédentes pages, me dit que cette équation (1) (équation 

 des cordes vibrantes dans un milieu résistant), avait été intégrée 

 complètement par Poisson en 1818, et qu'avant cela elle l'avait 

 été une première fois par Laplace en 1779; mais que le travail de 

 ce grand géomètre était resté inachevé. 



C'est dans un mémoire intitulé ■ Mémoire sur les suites „ 

 inséré aux recueils des travaux de l'ancienne académie " Histoire 

 et Mémoires de l'Académie des sciences „ que l'on trouvera le 

 travail de Laplace. 



Or, si l'intégration de Laplace n'est qu'à l'état d'ébauche, la 

 solution qu'il donne est d'une forme qui s'applique bien mieux au 

 cas que nous étudions que notre propre intégrale. Elle nous donne 

 au moins une première conclusion importante au point de vue du 

 but que nous poursuivons. Je terminerai ce chapitre par un rapide 

 exposé des quelques résultats que nous pouvons déduire de l'inté- 

 grale de Laplace. 



