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Le produit mn des deux quantités m et n, dont la somme est la 

 constante u, est d'autant plus petit que m — n ou n — m est plus 

 grand. La valeur la plus petite de mn correspondra donc à l'une ou 

 l'autre des valeurs extrêmes que peuvent prendre m et w, savoir, 

 au plus, \xp -f uZ, ixp — ju? pour m, \xq — nZ, M? + J-^ pour «. Or 



(up + uZ) (M? — HO = M 2 — (j? — 9) Z — P], 



(fip - uZ) (u ? + uZ) = u 2 [pq + (p-q)l- 1% 



Le produit Yhnn est donc égal ou supérieur à 



12 ftp + ]dj H - MO = 12m 2 + 0 (2 - Q. 



Le produit 12 (p + Z) (ç — Z) est aussi d'autant plus petit que 

 la différence p — q + 2Z entre les deux facteurs p + l, q — l 

 est plus grande. Or, la plus grande valeur que puisse prendre Z est 

 ^q. Par suite, 



12(p + Z)( 2 -Z) ^ 12 (V+ 



- 3(1 > 3. 2p. 9 = &pq. 



On a donc 



1 



1 



1 



Ou/-/ ' 



et enfin 



3. On a t lipJ( _ l < ^ p o« 1. En effet, posons, 



général, 



