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5. Pour ecarter la premiere de ces difficultes TchSbychef a propos6 

 de choisir les constantes a k de fac,on que tous les coefficients A k soient 



§gaux entre eux, ce qui fournit ^ 1 equations, si и est pair, et 



equations, si и est impair, pour les constantes a k . 



Ces öquations dSterminent complement tous les a k dans le dernier 

 cas; dans le premier cas ~ — 1 de ces quantites s'expriment par une 



seule d'elles qui reste ind6termin6e. 



De cette maniere s'e'carte parfaitement" la premiere difficult4 fournie 

 par la formule de Cotes, mais ä la place de celle-ci provient une autre, 

 non moins considerable: le calcul numerique des nombre a k et d'autant 

 plus des valeurs de f(a k ) devient, pour la plupart, trop рёпіЬІе. 



Outre cela, les ordonnees a k peuvent devenir et en effet deviennent 

 souvent imaginaires, le degre de precision ne snrpasse pas celui de la for- 

 mule de Cotes que d'une ипНё et, enfin, le terme complementaire R n se 

 pr£sente sous la тёте forme compliquee que celui de la formule de Cotes. 



6. Designons maintenant par Ф п (х) le polynöme de degrä n dont les 

 racines sönt egales aux ordonn£es assujetties aux conditions (3). On 

 peut ёсгіге 



Ф п {x) = (ж 2 — а*) (ж 2 — а а 2 ) ... (ж 2 — a 2 ), si п est pair 



et 



Ф п (х) = х(х 2 — а*) (ж 3 — а 2 2 ) ... (ж 8 — а 2 ), si п est impair. 



И est аіэё de comprendre que si nous allons assujettir les constantes 

 ttj(J=l,2,...,s)am conditions (m < s) 



-4-1 -4-1 +1 



(10) §<$> n {x)d% = 0, Jx*<t> n (x)dx = 0, . . . , JV^" 1 * Ф п (x)dx = 0 

 -l -l -l 



dans le cas ou n est pair, ou a m conditions de la forme 

 +i +i +i 



dans le cas ой n est impair, nous obtiendrons une formule des quadratures, 

 dont le degre de precision sera ёіеѵё de 2m иикёэ. 



Si Ton fait w = s, le nombre des ёquations (10) ou (11) devient pre- 

 cisement egal au nombre s des quantit£s ind£terminees a k . 



Нввѣстія P. А.П. 1918. 



