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On arrive de la sorte ä une formule des quadratures dont le degre de 

 präcision a la plus grande valeur possible 



c'est ä dire a la formule de Gauss, dont les ordonnees sont egales aux ra- 

 cines du polynome de Tchebychef dёfini par la condition 



P n -i( x ) d£signant un polynome arbitraire de degrö < n — 1. 



L'avantage d'une telle formule consiste en ce que 



1°. Elle fournit la meilleure approximation possible de Г integrate d6- 

 finie par la somme (2); 



2°. Son terme comptementaire B n se presente, comme Га monträ M. A. 

 Markov, sous une forme tres simple et commode. 



Mais en gagnant de cette maniere dans l'exactitude d'approximation, 

 nous perdous beaucoup dans la simplicite du calcul de la somme (2), qui 

 renferme simultanement les defauts appartenant эёрагёте^ ä la formule de 

 Cotes ainsi qu'ä celle de Tchibychef. 



7. On voit, de ce qui präcede, que les tentatives de s'aflranchir le^ 

 plus parfaitement possible de Tun des inconvenients qui опте, en general, la 

 methode d'interpolation dans le calcul арргоспё des integrales, on retombe 

 n£cessairement dans d'autres de ces inconvenients. Ce fait conduit naturelle- 

 ment ä la репвёе qu'on pourrait arriver aux rösultats plus avantageux en 

 decomposant les constantes indetermin^es a k (Jc = 1, 2, . . . , s) en deux 

 groupes, afin d'utiliser l'un d'eux pour simplifier, d'autant que possible, le 

 calcul numerique de la somme (2) et l'autre — pour ёіеѵег, conformäment 

 aux particularitös de chaque probleme donne, le degre de ргёсіэіоп de la 

 formule des quadratures. 



Nous pouvons, par exemple, assujettir les constantes a k (k=l, 2, . . .s) 

 seulement h m<s conditions de la forme (10) ou (11) qui dёterminent 

 »des quantitös а ъ \ s — m d'elles resteront indg termites. 



On peut essayer ensuite de disposer le nombre m et ces dernieres s — m 

 quanta indeterminöes de fagon que le calcul de la somme (2) et la forme du 

 reste R n de la formule en question devienuent si simples qu'il soit possible. 



Apres nos recherches recentes (Bull, de l'Acad. de SciencesÜe Russie, 

 VI s6r., № 2 — 3, le 1 et 15 fövr., 1918, Petrograd), qui nous permettent 



q = 2n — 1, 



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