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ne verifie pas toutes les conditions imposees aux срДж), en particulier aux 

 conditions 3° — 5°; neanmoins on peut montrer, que la convergence a lieu, 

 тёте si la n mt approximation est prise sous la forme (37). 

 A cet effet posons: 



X 



(38) , <? k ( x ) = \J°^ 1 jx k (x)dx, 



-l 



ой X k {x) däsigne le polynome de Legendre 1 du degre Jc. 



Les conditions 1°, 2° sont evidemment remplies, car d'apres la pro- 

 priete bien connue d'orthogonalite" des polynomes de Legendre, on a 



dx 



jx k dx = 0- jx { X k 

 -1 -1 \ 



0, si i Ф Ц 

 2 



2&+1 



, sii — Jc; 



Soit у (x) ■ — la fonction de x, verifiant les conditions limites et poss£- 

 dant la derivee du second ordre dans l'intervalle ( — 1, -+-1); alors la 

 fonction dёrivable y'{x) peut ёЧге developpee en serie convergente, procedant 

 suivant les polynomes de y Legendre: 



oo 



(39) *'(*)= 2 



fc=l 



0U 



+1 



b k= j У ( x ) 9k ( x ) dx 



-l 



et en vertu de l'equation de «fermeture» des polynomes de Legendre: 



f [y {x)J dx = 



en integrant (38) on trouve: 



УІ Х ) = 2**?*^ 



fc=i 



1 Pour les ргоргіёЧёв de ces polynomes voir par ex.: Jordan. «Cours d'Analyse» 2 6d. 

 t. II, pp. 250—256. 



