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2. II existe une infinite des formules de l'espece consideree, mais seule- 

 ment Celles lä тёі-itent une attention qui satisfont, autant que possible, a 

 certaines conditions complementaires; par exemple, aux suivantes: 



1°. Les ordonnees a k doivent etre chöisies suivant une loi simple de 

 facon que le calcul des valeurs correspondantes f(a k ) soit le plus simple 

 possible. 



2°. Les coefficients A k doivent ötre choisis en тёте temps sous la con- 

 dition que le calcul de la somme (2) soit si simple que possible. 



3°. Le degr6 q de precision doit avoir la plus grande valeur possible 

 pour que la formule des quadratures puisse fournir la meilleure approxima- 

 tion de l'integrale cherchee. 



4°. On doit avoir une expression precise du reste B n de la formule 

 (1) sous une forme la plus simple possible pour qu'on puisse calculer sans 

 difficulte les limites de l'erreur commise et, s'il est possible, sou signe. 



Malheureusement, il est impossible de satisfaire ä la fois ä toutes les 

 conditions enoncees, incompatibles en general; nous devons, ä cette raison, 

 nous contenter, selon les circonstances, des formules qui ne satisfont qu'en 

 partie ä telles ou telles de 4 conditions signalees plus baut. 



Parmi les formules de cette derniere espece le plus souvent employees 

 sont Celles de Cotes, de Gauss et de Tchebychef. 



L'avantage principale de la formule de Cotes consiste en ce que toutes 

 les ordonnees a k et les coefficients A k sont toujours des nombres rationnels, 

 ce qui rend le calcul de la somme (2) Men simple, surtout pour les valeurs 

 de n pas assez grandes. 



Mais le degre de precision de cette formule a la plus petite valeur pos- 

 sible q = n — 1 pour n pair et seulement n pour n impair et, enfin, l'expres- 

 sion precise de son terme coraplementaire B n est restee inconnue jusqu'a 

 present, ce qui presentait un defaut principal de la formule consideree. 



J'ai indique recemment une expression precise de B n pour toute for- 

 mule des quadratures et, en particulier, pour la formule de Cotes, mais 

 cette expression ne possede pas toute la simplicite desirable et ne donne 

 aucune indication sur le signe de l'erreur du calcul. 



La formule de Gauss satisfait d'une maniere parfaite aux deux dernie- 

 res conditions, indiquees plus haut; son degre de precision a la plus grande 

 valeur possible 2n — 1, de sorte que la formule fournit la meilleure appro- 

 ximation possible; son terme complementaire B n se presente, d'apres 



