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qu'elle fournit pour le calcul de la somme (1), de presenter le reste B n de 

 la formule modifiee sous la meme forme simple que possäde le reste de la 

 formule de Gauss, au moins pour les valeurs de n 



n = 3, 5, 7, 9. 



Ce resultat, remarquons d'avance, peut §tre ätendu ä toutes les valeurs 

 impaires de n, mais je crois inutile d'insister sur ce point, car, dans la pra- 

 tique, on emploie tres rarement les formules au nombre des ordonn6es plus 

 grand que 9 et qu'on se borne, pour la plupart, ä n egal a 5 ou a 7 au plus. 



Je me suis assure ensuite que les memes considerations s'appliquent 

 non seulement au cas de 



p(x)=l, 



qui correspond ä la formule de Cotes, mais encore ä certaines classes de 

 formules des quadratures ou p(x) est une fonction donnee, differente de 

 l'unite et satisfaisant ä certaines conditions assez generates. 



L'utilite des resultats, dont nous venons de parier, m'engage a pre- 

 senter, dans cette Note, quelques reflexions sur ce sujet. 



4. Supposons, pour plus de simplicit6, que les limites de l'intervalle 



soient 



a = — 1, b = -+- 1. 



En nous arretant d'abord au cas de n impair, prenons pour ordonnees 

 les quant^s suivantes 



a 1= = — 1-4-Ä, a s = — 1-+-2Й,. . ., «„_! = — In 5— h, a^=0 y 



2 2 



(3) 



, n+3, , 7 



= — 1 ~Y~ ' • • • ' a n = — 1-+-WÄ, 



2 



ou Ton a pose 



Ш 2 



И -4- 1 



On obtient de cette maniere une formule symetrique par rapport aux 

 ordonnees qui ne differe de celle de Cotes que par exclusion du nombre des 

 ordonnees des quantites — 1 et -+- 1 . 



Le degre de precision de cette formule est egal, evidenrment, a w. 



