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On demontrera de la тёте тапіёге que 



A s = A, > 0 et А ь > О. 



10. Les considerations precedentes nous conduisent au resultat suivant: 

 Quelle que soit la fonction p (x), satisfaisant ä la condition 1 



p(x) = p{—x) 



et restant поп negative et поп decroissante dans V Intervalle (0, 1), les coef- 

 ficients A k de la formule des quadratures (1) de Vordre impair n, dont les 

 ordonnees a k (k = 1 , 2, . . . , n) se definissent par les equations (3), sont 

 toujour s altern aiivement positifs et negatifs; ils sont positifs pour les valeurs 

 impaires et negatifs pour les valeurs paires de Vindice k. 

 Nous avons considere seulement les cas de 



n — 3, 5, 7, 9, 



mais nous pourrons 6tendre les resultats obtenus ä toutes les valeurs impaires 

 de n, -en appliquant les raisonneraents precedents aux formules generates 

 (3), (4) et (5). 



Nous croyons cependant inutile d'entrer dans ces recherches generales 

 qui ne peuvent pas avoir une application pratique. 



11, Les conditions generales, imposees ä la fonction p(x) au n° pre- 

 cedent, caracterisent un groupe etendu de formules des quadratures dont les 

 coefficients A k sont toujours alternativement positifs et negatifs, mais ces 

 conditions, etant süffisantes, ne sont pas, sans doute, necessaires. 



Pour s'en assurer, il suffit de poser dans la formule (1) 



p(x) = \Jl £C 2 . 



C'est une fonction paire et positive, mais elle decroit dans l'intervalle 

 (0, 1). Neanmoins les coefficients A k de la formule correspondante des 

 quadratures seront de тёте alternativement positifs et negatifs. 



•Les formules (6) donnent, en effet, pour n = 3 



. A, = A s = | > 0, A = 0. 



1 Plus geniralement, aux conditions suivantes 



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Извѣстія Г. A. H. 1918. 



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