eû étonnant qu'il ne fe foit pas égaré ; Se on ne peut 

 donner une plus grande preuve de la profondeur &c 

 de l'étendue de fon génie : car Bouillaud avoue qu'il 

 n'a pas entendu les démonflrations d'Archimede , & 

 Viete les a injuftement aceufées de paralogifme. 



Quoiqu'il en foit , ces mêmes démonflrations qui 

 ont coûté tant de peine à Bouillaud & à Viete , & 

 peut-être tant à Archimede , peuvent aujourd'hui 

 être extrêmement facilitées par Y application de l'Algè- 

 bre à la Géométrie. On en peut dire autant de tous 

 les ouvrages géométriques des Anciens , que pref- 

 que perfonne ne lit par la facilité que donne l'Algè- 

 bre de réduire leurs démonflrations à quelques li- 

 gnes de calcul. 



Cependant M. Newton qui connoiffoit mieux 

 qu'un autre tous les avantages de PAnalyfe dans la 

 Géométrie , fe plaint en pluiieurs endroits de fes ou- 

 vrages de ce que la leclure des anciens Géomètres 

 efl abandonnée. 



En effet, on regarde communément la méthode 

 dont les anciens fe font fervis dans leurs livres de 

 Géométrie-, comme plus rigoureufe que celle de l'A- 

 nalyfe ; & c'eft principalement fur cela que font fon- 

 dées les plaintes de M. Newton, qui craignoit que 

 par l'ufage trop fréquent de l'Analyfe , la Géométrie 

 ne perdît cette rigueur qui cara&érife fes démonltra- 

 tions. On ne peut nier que ce grand homme ne fût 

 fondé , au moins en partie , à recommander jufqu'à un 

 certain point, la leclure des anciens Géomètres. 

 Leurs démonflrations étant plus difficiles, exercent 

 davantage l'efprit, l'accoûtument à une application 

 plus grande , lui donnent plus d'étendue , & le for- 

 ment à la patience & à l'opiniâtreté fi néceffaires 

 pour les découvertes. Mais il ne faut rien outrer ; & 

 fi on s'en tenoit à la feule méthode des anciens , il n'y 

 a pas d'apparence que , même avec le plus grand gé- 

 nie , on pût faire dans la Géométrie de grandes dé- 

 couvertes, ou du moins en aufîi grand nombre qu'a- 

 vec le fecours de l'Analyfe. A l'égard de l'avantage 

 qu'on veut donner aux démonflrations faites à la ma- 

 nière des anciens , d'être plus rigoureufes que les dé- 

 monflrations analytiques; je doute que cette préten- 

 fion foit bien fondée. J'ouvre les Principes de Newton : 

 je vois que tout y efl démontré à la manière des an- 

 ciens,mais en mêmetems je vois clairement que New- 

 ton a trouvé fes théorèmes par une autre méthode que 

 celle par laquelle il les démontre , & que fes démons- 

 trations ne font proprement que des calculs analyti- 

 ques qu'il a traduits & déguifés , en fubilituant le nom 

 des lignes à leur valeur algébrique. Si on prétend que 

 les démonflrations de Newton font rigoureufes , ce 

 qui efl vrai ; pourquoi les traductions de ces démons- 

 trations en langage algébrique ne feroient-elîes pas 

 rigoureufes aulli ? Que j'appelle une ligne A B , ou 

 que je la déligne par l'expre filon algébrique a , quelle 

 différence en peut-il réfnlter pour la certitude de la 

 démonflration ? A la vérité la dernière dénomination 

 a cela de particulier , que quand j'aurai défigné tou- 

 tes les lignes par des caractères algébriques, je pour- 

 rai faire fur ces caracleres beaucoup d'opérations , 

 fans fonger aux lignes ni à la figure : mais cela même 

 efl un avantage ; l'efprit efl foulagé : il n'a pas trop 

 de toutes fes forces pour réfoudre certains problè- 

 mes , & l'Analyfe les épargne autant qu'il efl pof- 

 fible ; il fuffit de favoir que les principes du cal- 

 cul font certains , la main calcule en toute fureté , & 

 arrive prefque machinalement à un réfultat qui don- 

 ne le théorème ou le problème que l'on cherchoit , 

 & auquel fans Cela l'on ne feroit point parvenu , ou 

 l'on ne feroit arrivé qu'avec beaucoup de peine. Il 

 ne tiendra qu'à l'Analyfle de donner à fa démonflra- 

 tion ou à fa folution la rigueur prétendue qu'on croit 

 lui manquer; il lui fuffira pour cela de traduire la dé- 

 monilration dans le langage des anciens , comme 



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Newton a fait les nennes. Qu'on fe contente donc dê 

 dire, que l'ufage trop fréquent &trop facile de l'A- 

 nalyfe peut rendre l'efprit parefTeux, & on aura rai- 

 fon , pourvu que l'on convienne en même tems de la, 

 néceffité abfolue de l'Analyfe pour un grand nombre 

 de recherches : mais je doute fort que cet ufage ren- 

 de les démonflrations mathématiques moins rigou- 

 reufes. On peut regarder la méthode des anciens ? 

 comme une route difficile , tortueufe , embarrafTée , 

 dans laquelle le Géomètre -guide fes lecleurs : l'Ana- 

 lyiie , placé à un point de vûe plus élevé , voit, 

 pour ainfi-dire , cette route d'un coup d'œil ; il ne 

 tient qu'à lui d'en parcourir tous les fentiers , d'y 

 conduire les autres , & de les y arrêter aufli long- 

 tems qu'il le veut. 



Au relie , il y a des cas où l'ufage de l'Analyfe , loin 

 d'abréger les démonflrations, les rendrait au contrai- 

 re plus embarraffées. De ce nombre font entr 'autres 

 pluiieurs problèmes ou théorèmes , oii il s'agit de 

 comparer des angles entr 'eux. Ces angles ne font ex- 

 primables analytiquement que par leurs finus, & l'ex- 

 prefîion des finus des angles eft Souvent compliquée; 

 ce qui rend les conflruclions & les démonflrations 

 difficiles en fe fervant de l'Analyfe. Au relie , c'eft 

 aux grands Géomètres à favoir quand ils doivent fai- 

 re ufage de la méthode des anciens , ou lui préférer 

 l'Analyfe. Il feroit difficile de donner fur cela des rè- 

 gles exacles & générales. 



Application de la Géométrie à F Algèbre. Quoi- 

 qu'il foit beaucoup plus ordinaire & plus commode 

 d'appliquer l'Algèbre à la Géométrie, que la Géomé- 

 trie à l'Algèbre ; cependant cette dernière application 

 a lieu en. certains cas. Comme onrepréfente les lignes 

 géométriques par des lettres, on peut quelquefois 

 repréfenter par des lignes les grandeurs numériques 

 que -des lettres expriment , & il peut même dans quel- 

 ques occafions en réfulter plus de facilité pour la dé- 

 monflration de certains théorèmes , ou la réfolution 

 de certains problèmes. Pour en donner un exemple 

 fimple , je fuppofe que je veuille prendre le quarré de 

 a -f- b ; je puis par le calcul algébrique démontrer que 

 ce quarré contient le quarré de a , plus celui de b , plus 

 deux fois le produit de a par b. Mais je puis aulli dé- 

 montrer cette propofition en me fervant de la Géo- 

 métrie. Pour cela , je n'ai qu'à faire un quarré , dont 

 je partagerai la bafe &la hauteur chacune en deux 

 parties , d'ont j'appellerai l'une a , & l'autre enfui- 

 te tirant par les points de divifion des lignes parallè- 

 les aux côtés du quarré , je diviferai ce quarré en qua- 

 tre furfaces , dont on verra au premier coup d'œil , 

 que l'une fera le quarrré de a , une autre celui de b , 

 & les deux autres feront chacune un recf angle formé 

 de a & de b ; d'où il s'enfuit que le quarré du bi- 

 nôme a -f- b contient le quarré de chacune des deux 

 parties , plus deux fois le produit de la première par 

 la féconde. Cet exemple très-fimple & à la portée de 

 tout le monde , peut fervir à faire voir comment on 

 applique la Géométrie à l'Algèbre , c'efl-à-dire , com- 

 ment on peut fe fervir quelquefois de la Géométrie 

 pour démontrer les théorèmes d'Algèbre. 



Au relie , l'application de la Géométrie à l'Algè- 

 bre , n'efl pas fi néceffaire dans l'exemple que nous 

 venons de rapporter , que dans plufieurs autres , trop 

 compliqués pour que nous en faffions ici une énumé- 

 ration fort étendue. Nous nous contenterons de dire, 

 que la confidération , par exemple , des courbes de 

 genre parabolique , & du cours de ces courbes par 

 rapport à leur axe , efl fouvent utile pour démon- 

 trer aifément plufieurs théorèmes fur les équations Se 

 fur leurs racines. Voye^ entr'autres , l'ufage que M. 

 l'abbé de Gua a fait de ces fortes de courbes, Afow. 

 Acad. i y 4.1, pour démontrer la fameufe règle de DeS 

 cartes fur le nombre des racines des équations. Voye^ 

 Parabolique, Construction, &c. 



