que d'une très-petite quantité de la valeur exacte de 

 la racine cherchée. Il en eft de même de la racine 

 cubique d'un nombre qui n'eft pas un cube parfait , 

 & ainii des autres puiffances , comme on peut voir 

 dans les Tranfact. phil. n°. ziâ. 



La méthode la plus fimple & la plus facile d'ap- 

 procher de la racine d'un nombre , eft celle-ci : je 

 fuppofe , par exemple qu'on veuille tirer la racine 

 quarrée de 2; au lieu de 2 , j'écris la fraction , 

 qui lui eft égale , ayant foin que le dénominateur 

 10000 foit un nombre quarré , c'eft-à-dire , ren- 

 ferme un nombre pair de zéros ; enfuite je tire la 

 racine quarrée du numérateur 20000 ; cette ra- 

 cine , que je peux avoir à une unité près , étant di- 

 vifée par 100 , qui eft la racine du dénominateur, 

 j'aurai à 7 ~ près la racine de f£f £| , c'eft-à-dire , 

 de 2. 



Si on vouloit avoir la racine plus approchée, 

 il faudrait écrire 7^—3^ 5 & on aurait la racine à 

 — — près , &c, de même pour avoir la racine cubi- 

 que de 2, il faudrait écrire ffjjftff , 1000000 étant 

 un nombre cubique, & on aurait la racine à -~ près, 

 & ainfi à l'infini. 



Soit a a -f b un nombre quelconque qui ne foit 

 pas un quarré parfait , & a> + b un nombre quel- 

 conque qui ne foit pas un cube parfait. Soit a a le 

 plus grand quarré parfait contenu dans le premier 

 de ces nombres. Soit # 3, le plus grand cube parfait 

 contenu dans le fécond de ces nombres , on aura 



)/(aa+b)=a+±-3_t* &c. ^(al + b) — a+±_^ - 

 **. ckc. Fojei Binôme. A l'aide de ces équations, 



on aura facilement des expreffions fort approchées 

 des racines quarrées & cubiques que l'on cherchera. 



Soit propofé d'avoir la racine d'une équation par 

 Approxima tion, i°. d'une équation du fécond 

 degré. Soit l'équation donnée du fécond degré dont 

 il faut avoir la racine par approximation, x^—jx—y 1 

 = o ; on fuppofe que l'on fâche déjà que la racine 

 eft à peu-près 8 ; ce que l'on peut trouver aifément 

 par différentes méthodes dont plufieurs font expo- 

 fées dans le VI e livre de YAnalyfe démontrée du P, 

 Reyneau. 



Soit 8 -\-y la racine de l'équation propofée , en- 

 forte que y foit une fraftion égale à la quantité 

 dont 8 eft plus grand ou plus petit que la racine cher- 

 chée } on aura donc 



x 1 - — 64+ 16 y -{- y 2 



- 31 - -31, 



- 7 + 11 J +y 2 = o. 



Or comme une fraction devient d autant plus pe- 

 tite que la puiffance à laquelle elle fe trouve élevée 

 eft grande , & que nous ne nous propofons que d'a- 

 voir une valeur approchée de la racine de l'équa- 

 tion , nous négligerons le terme y* ; & la dernière 

 équation fe réduira à 



- 7+117 = 0. 



y — Tï = T5 à peu-près = o. 6. 

 Donc * = 8 + o. 6 = 8. 6. 

 Soit encore x = 8. 6 +7, on aura 



-31 =- 31, 



2LÏ96 43 o 1 1 - 1 ~~ 



1 00 nr — 3 1 + -j^-y — 5 y = o. 



Réduifant les fractions au même dénominateur, 

 on aura l'équation fuivante : 



73.96—4300— 3 100 + (1720 — 500)7 = 0 



— 0. 04 + 12207 2= o. 



1 2. 10 y = o. 04. 



y = 004 : 1 2. 20 = o. 003 2. 

 Donc x = 8. 6000 -f o. 0032 = 8. 6032. 

 Soit encore x = 8. 6032 +7: on aura 



= 7401 505024 4- 17. 206400007 



— 5 x = — 43 . o i 600000 a* 500000000 



— 3 1 = — 3 1 . 00000000. 



— O. OOOO94976 — I 2. 2064OOOOJK = O; 



7 = 0. 000094976 : 12. 206400007=0.000077808.- 

 Donc x— 8. 6032000000 + 0. 0000O76808 

 = 8.603277808. 

 Soit maintenant cette équation du troifieme de- 

 gré , dont il faut chercher la racine par approxima- 

 tion , x3 + 2**- 23 x— 70=0, & dont on fuppofe 

 que l'on fâche à peu-près la valeur de la racine, par 

 exemple 5. 



Soit donc la racine de cette équation 5+7. Comme 

 on peut négliger les termes où y fe trouve au fécond 

 & au troifieme degré , il n'eft pas nécefTaire de les 

 exprimer dans la transformation. On aura donc feu> 

 lement = 125 -{-75 y 



+ ix* = 50 + 207 



-23 x — 115 - 237 



— 70 = — 70. 



- 10 + 7 2 J™ o. 

 y = -?~ = o. 1. 



Donc x = 5 4-0. 1 = 5. 1. 



Soit derechef x = 5. 1 4- y, on aura 



x3 = 132. 651 -f-73. 0307 

 4- 2.r 2 = 52. 020 20. 4007 



— 23*= — 117. 300—23.0007 



— 70 = — 70. 000. 



-2.629+75.4307 = 0 

 75.4307 = 2.629. 



y = 2. 629 : 75. 430 = o. 0348. 

 Donc x=z 5. 1 4- o. 0348 = 5. 1 348 , & ainfi de fuite 

 à l'infini. Il eft évident que plus on réitérera l'opé- 

 ration , plus la valeur de x approchera de la valeur 

 exacte de la racine de l'équation propofée. 



Cette méthode pour approcher des racines des 

 équations numériques, eft due à M. Newton. Dans 

 les Mém. de V Acad. de IJ44 , on trouve un mémoire 

 de M. le marquis de Courtivron , où il perfectionne 

 & fimplifie cette méthode. Dans les mêmes Mémoi- 

 res, M. Nicole donne auffi une méthode pour appro- 

 cher des racines des équations du troifieme degré 

 dans le cas irréductible; & M. Clairaut, dans fes 

 Elémens d'Algèbre, enfeigne aufti une manière d'ap- 

 procher de la racine d'une équation du troifieme 

 degré dans ce même cas. V. Cas irréductible du 

 troifieme degré. (0) 



* APPUI ,foûùen , /apport : Y appui fortifie , le fou- 

 tien porte , le /apport aide ; ï appui eft à côté , le 

 foûtien deffous , l'aide à l'un des bouts : une mu- 

 raille eft appuyée ; une voûte eft fout en ue ; un toict 

 eft fupporté : ce qui eft violemment pouffé a befoin 

 d'appui ; ce qui eft trop chargé a beioin de foûtien ; 

 ce qui eft très-long a befoin de fupport. 



Au figuré , V appui a plus de rapport à la force & 

 à l'autorité ; le foûtien, au crédit & à l'habileté ; 

 & le fupport , à l'affection & à l'amitié. 



Il faut appuyer nos amis dans leurs prétentions 

 les foûtenir dans l'adverfité , & les fupporter dans 

 leurs momens d'humeur. 



Appui , ou point d'appui d'un levier , eft le point 

 fixe autour duquel le poids & la puiffance font en 

 équilibre dans un levier : ainii dans une balance or- 



