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règles ; A on ôte un nombre d'un autre , cet autre 

 nombre joint avec le refte , doit rendre le premier 

 nombre ; A on divife une grandeur par une autre , le 

 quotient multiplié par le divifeur doit rendre le divi- 

 dende ; A on multiplie la fomme de plufieurs nombres 

 par la fomme de.plufieurs autres, le produit efl: égal à 

 Ja fomme des produits de chaque partie par toutes 

 les autres , &c. 



De-là il s'enfuit d'abord qu'en défignant les nom- 

 bres par desexpreffions générales, c'eft-à-dire 9 qui 

 ne délignent pas plus un nombre qu'un autre , on 

 pourra former certaines règles relatives aux opéra- 

 tions qu'on peut faire furies nombres ainfi défignés. 

 Ces règles le réduifent à repréfenter de la manière 

 la plus fimple qu'il efl: poffible , le réfultat d'une ou 

 de plufieurs opérations qu'on peut faire fur les nom- 

 bres exprimés d'une manière générale ; & ce réful- 

 tat ainfi exprimé , ne fera proprement qu'une opéra- 

 tion arithmétique indiquée, opération qui variera fé- 

 lon qu'on donnera différentes valeurs arithmétiques 

 aux quantités , qui dans le réfultat dont il s'agit , re- 

 préfentent des nombres. 



Pour mieux faire entendre cette notion que nous 

 donnons de l'Algèbre , parcourons-en les quatre rè- 

 gles ordinaires , & commençons par l'addition. Elle 

 confifle, comme nous l'avons vû dans l'article Addi- 

 tion , à ajouter enfemble avec leurs lignes , fans au- 

 cune autre opération , les quantités diffemblables , 

 & à ajouter les coëfficiens des quantités femblables : 

 par exemple , fi j'ai à ajouter enièmble les deux gran- 

 deurs difiemblables a , b, j'écrirai Amplement #-f-£ ; 

 ce réfultat n'eft autre chofe qu'une manière d'indi- 

 quer que fi on défigne a par quelque nombre , & b 

 par un autre , il faudra ajouter enfemble ces deux 

 nombres ; ainfi a -}- b n'eft que l'indication d'une ad- 

 dition arithmétique , dont le réfultat fera différent 

 félon les valeurs numériques qu'on affignera à a & 

 à b. Je fuppofe prélentement qu'on me propofe d'a- 

 joûter 5 a avec 3 a , je pourrois écrire 5 a + 3 a, & 

 l'opération arithmétique feroit indiquée comme ci- 

 deifus : mais en examinant 5 a & 3 a , je vois que 

 cette opération peut être indiquée d'une manière plus 

 fimple : car quelque nombre que a repréfente , il effc 

 évident que ce nombre pris 5 fois , plus ce même 

 nombre pris 3 fois , efl égal au même nombre pris 

 8 fois : ainfi , je vois qu'au lieu de 5 a+ 3 a , je puis 

 écrire 8 a , qui efl: l'expreffion abrégée , & qui m'in- 

 dique une opération arithmétique plus fimple que ne 

 me l'indique l'exprefTion 5 <z -f 3 <z. 



C'efl: là-deffus qu'efl: fondée la règle générale de 

 l'addition algébrique , d'ajouter les grandeurs fem- 

 blables en ajoutant leurs coëfficiens numériques , & 

 écrivant enluite la partie littérale une fois. 



On voit donc que l'addition algébrique fe réduit à 

 exprimer de la manière la plus fimple la fomme ou 

 le réfultat de plufieurs nombres exprimés générale- 

 ment, &àne biffer, pour ainfi dire, à l'Arithméticien 

 que le moins de travail à faire qu'il efl pofîible. Il 

 en efl: de même de la fouûracïion algébrique ; fi je 

 veux retrancher b de a, j'écris Amplement a — b 9 parce 

 que je ne peux pas repréfenter cela d'une manière 

 plus fimple : mais fi j'ai à retrancher 3 a de 5 a , je n'é- 

 crirai point 5 a — 3 a , parce que cela me donnerait 

 plufieurs opérations arithmétiques à faire , en cas que 

 je voulufle donner à a une valeur numérique ; j'écri- 

 rai Amplement 2 a , expreffion plus fimple & plus 

 commode pour le calcul arithmétique. Foyc^ Sous- 

 traction. 



J'en dis autant de la multiplication & de la divi- 

 fion : fi je veux multiplier a-\-b par c+d , je puis 

 écrire indifféremment (a + £ ) X (c + <0 * ou ac +bc 

 *±ad-\-bd, & fouvent même je préférerai la pre- 

 mière expreffion à la féconde , parce qu'elle femble 

 jdemander moins d'opérations arithmétiques j car il 



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ne faut que deux additions & une multiplication pouf 

 la première , & pour la féconde il faut trois additions 

 & quatre multiplications : mais fi j'ai à multiplier 

 5 a par 3 a , j'écrirai 1 5 a a au lieu de 5 a x 3 a , parce 

 que dans le premier cas , j 'aurois trois opérations 

 arithmétiques à faire , & que dans le fécond je n'en 

 ai que deux , une pour trouver a a , & l'autre pour 

 multiplier a a par 1 5. De même fi j'ai a -\-b à multi- 

 plier par a — b , j'écrirai aa — bb, parce que ce réful- 

 tat fera fouvent plus commode que l'autre pour les 

 calculs arithmétiques , & que d'ailleurs j'en tire un 

 théorème , favoir que le produit de la fomme de deux 

 nombres par la différence de ces deux nombres , efl 

 égal à la différence des quarrés de ces deux nombres. 

 C'efl: ainfi qu'on a trouvé que le produit de a -j- b 

 par a + b , c'efl-à-dire le quarré de a-\-b, étoït aa-\- 

 zab Se qu'il contenoit par conféquent le quarré 

 des deux parties , plus deux fois le produit de l'une 

 par l'autre ; ce qui fert à extraire la racine quarrée 

 des nombres. Voye^ Quarré & Racine quarrée. 

 Dans la diviflon, au lieu d'écrire ^— , j'écrirai 



Amplement 4^; au lieu d'écrire aa ~^* , j'écrirai 



<z — x. Mais fi j'ai à divifer bc par hd, j'écrirai ~ , 



ne pouvant trouver une expreffion plus fimple. 



On voit donc par là que M. Newton a euraifon 

 d'appeller l'Algèbre Arithmétique univerfelle j puifque 

 les règles de cette Science ne conAftent qu'à extraire 

 pour ainfi dire ce qu'il y auroit de général & de com- 

 mun dans toutes les Arithmétiques particulières qui fe 

 feroient avec plus ou moins Ou autant de chiffres 

 que la nôtre , & à préfenter fous la forme la plus Am- 

 ple & la plus abrégée , ces opérations arithmétiques 

 indiquées. 



Mais, dira-t-on, à quoi bon tout cet échaffauda- 

 ge } Dans toutes les queftions que l'on peut fe pro- 

 pofer fur les nombres , chaque nombre elt défigné & 

 énoncé. Quelle utilité y a-t-il de donner à ce nombre 

 une valeur littérale , dont il femble qu'on peut fe paf- 

 fer ? Voici l'avantage de cette dénomination. 



Toutes les queftions qu'on peut propofer fur les 

 nombres , ne font pas auffi Amples que celles d'ajoû- 

 ter un nombre donné à un autre , ou de l'en fouftraire, 

 de les multiplier ou de les divifer l'un par l'autre. Il 

 eft des queftions beaucoup plus compliquées , & pour 

 la folution defquelles on efl: obligé de faire des com- 

 binaifons , dans lefquelles le nombre ou les nombres 

 que l'on cherche doivent entrer. Il faut donc avoir 

 un art de faire ces combinaifons fans connoître les 

 nombres que l'on cherche ; & pour cela il faut expri- 

 mer ces nombres par des caractères différens des ca- 

 ractères numériques , parce qu'il y auroit un très- 

 grand inconvénient à exprimer un nombre inconnu 

 par un caractère numérique qui ne pourroit lui con- 

 venir que par un très-grand hafard. Pour rendre cela 

 plus fenfible par un exemple , je fuppofe qu'on cher- 

 che deux nombres dont la fomme foit 100 , & la dif- 

 férence 40 : je vois d'abord qu'en défignant les deux 

 nombres inconnus par des caractères numériques à 

 volonté , par exemple l'un par 25 , & l'autre par 50 , 

 je leur donnerois une expreffion très-faufle , puifque 

 25 & 60 ne fatisfont point aux conditions de laquef- 

 tion. Il en feroit de même d'une inAnité d'autres dé- 

 nominations numériques. Pour éviter cet inconvé- 

 nient, j'appelle le plus grand de mes nombres x , & 

 le plus petit y ; & j'ai par cette dénomination algé- 

 brique , les deux conditions ainfi exprimées : x plus 

 y efl: égal à 100 , & x moins.y efl: égal à 60 ; ou en 

 caractères algébriques : 



x -\-y = 100. 



x —y = 60. Voyc[ CARACTERE. 

 Puifque x +y efl: égal à 100 , & x —y égal à 60 , jq 



