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Vois que ïôO , joint avec 60 , doit être égal à yl 

 joint à x— y. Or pour ajouter ^r-f-j à x —y , il faut 

 Suivant les règles de l'addition algébrique , écrire 2 x ; 

 je vois donc que 2 x eft égal à 160 , c'eft-à-dire que 

 160 eft le double du plus crrand nombre cherché ; 

 donc ce nombre eft la moitié de 160 , c'eft-à-dire 80 : 

 d'où il eft facile de trouver l'autre qui effy : car puif- 

 que x "\~ y eft égal à 1 00 , & que x eft égal à 80 , donc 

 80 plusy eft égal à 100 ; donc j eft égal à 100 dont 

 on a retranche 80 , c'eft - à- dire 20 ; donc les deux 

 nombres cherchés font 80 & 20 : en effet leur fomme 

 eft 100, & leur différence eft 40. 



Au refte je ne prétends pas faire voir par cet arti- 

 cle la néceffité de l'Algèbre ; car elle ne feroit encore 

 guère néceflaire , fi on ne propofoit pas des queftions 

 plus compliquées que celles-là : j'ai voulu feulement 

 îàire voir par cet exemple tres-fimple , & à la portée 

 de tout le monde , comment par le fecours de l'Algè- 

 bre on parvient à trouver les nombres inconnus. 



L'exprefîion algébrique d'une queftion , n'eft autre 

 chofe, comme l'a fort bien remarqué M. Newton, que 

 la traduction de cette même queftion en caractères 

 algébriques ; traduction qui a cela de commode & 

 d'effentiel , qu'elle fe réduit à ce qu'il y a d'abfoîu- 

 ment néceflaire dans la queftion, & que les conditions 

 fuperflues en font bannies. Nous allons en donner d'a- 

 près M. Newton l'exemple fuivant, 



Queflion énoncée par le La même queflion traduite 

 langage ordinaire. algébriquement. 



On demande trois x, y, £. 



nombres avec ces con- 

 ditions. 



Qu'ils foient en pro- x : y : : y : £ , ou x ç —y y. 

 portion géométrique ,w Proportion. 

 continue. ^ 



Que leur fomme foit 20, x -f y -f- % = 20. 



Et que la fomme de xx -{-y y = 140. 

 leurs quarrés foit 140. 



Ainfi la queftion fe réduit à trouver les trois incon- 

 nues x,y, 1 , par les trois équations x i = yy, x-\-y 

 = 20 , xx -J- y y 4- il— 140. ii ne refte plus qu'à 

 tirer de ces trois équations ia valeur de chacune des 

 inconnues. 



On voit donc qu'il y a dans V Arithmétique univer- 

 felle deux parties à distinguer, 



La première eft celle qui apprend à faire les com- 

 binaifons & le calcul des quantités reprélentées par 

 des lignes plus univeriels que les nombres; ae manière 

 que les quantités inconnues , c'eft-à-dire dont on igno- 

 re la valeur numérique, puiffent être combinées avec 

 la même facilité que les quantités connues , c'eft-à- 

 dire auxquelles on peut affigner des valeurs numéri- 

 ques. Ces opérations ne mppofent que les propriétés 

 générales de la quantité , c'eft-à-dire qu'on y envifa- 

 ge la quantité Amplement comme quantité , & non 

 comme repréfentée & fixée par telle ou telle expref- 

 fion particulière. 



La féconde partie de V Arithmétique univerfelle con- 

 iifte à favoir faire uiage de la méthode générale de 

 calculer les quantités , pour découvrir les quantités 

 qu'on cherche par le moyen des quantités qu'on con- 

 noît. Pour cela il faut i°. repréienter de la manière la 

 plus fimple & la plus commode, la loi du rapport qu'il 

 doit y avoir entre les quantités connues & les incon- 

 nues. Cette loi de rapport eft ce qu'on nomme équa- 

 tion ; ainfi le premier pas à faire , lorf qu'on a un pro- 

 blème à réfoudre , eft de réduire d'abord le problème 

 à l'équation la plus fimple. 



Enfuite il faut tirer de cette équation la valeur ou 

 les différentes valeurs que doit avoir l'inconnue qu'on 

 cherche : c'eft ce qu'on appelle réfoudre l'équation. 



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Poyei l'article Equation , où vous trouverez là* 

 deffus un plus long détail „ auquel nous renvoyons, 

 ayant dû nous borner dans cet article à donner une 

 idée générale de Y Arithmétique univerfelle, pour en 

 détailler les règles dans les articles particuliers. Voye^ 

 aufti Problème > Racine, &c 



La première partie de 1 ! Arithmétique univerfelle s'ap- 

 pelle proprement Algèbre ou fcience du calcul des 

 grandeurs en général ; la féconde s'appelle propre- 

 ment Analyfe : mais ces deux noms s'employent affez 

 iouventi un pour l'autre. K Algèbre & Analyse. 



Nous ignorons fi les anciens ont connu cette Scien^ 

 ce : il y a pourtant bien de l'apparence qu'ils avoient 

 quelque moyen iemblable pour réfoudre au moins les 

 queftions numériques ; par exemple , les queftions 

 qui ont été appelées quejlions de Diophante. Voye^ 

 Diophante; voye^ auffi Application de t Analyfe 

 à la Géométrie. 



SelonM. l'abbé deGua, dans fon excellente hiftoî- 

 re de l'Algèbre, dont on trouve la plus grande partie 

 à l'artic, Algèbre de ce Dictionnaire , Théon paroît 

 avoir cru que Platon eft l'inventeur de l'Analyfe , & 

 Pappus nous apprend que Diophante & d'autres au- 

 teurs anciens s'y étoient principalement appliqués , 

 comme Euclide , Apollonius , Ariftée , Eratofthene * 

 & Pappus lui-même. Mais nous ignorons en quoi con-* 

 fiftoitpiéciiément leur Analyfe ? & en quoi elle pou- 

 voit différer de la nôtre ou lui reffembler. M. de Ma- 

 lezieu, dans fes Elémens de Géométrie, prétend qu'il eft 

 moralement impoftible qu'Archimede foit arrivé à la 

 plupart de fes belles découvertes géométriques , fans 

 ie iecours de quelque chofe d'équivalent à notre Ana- 

 lyfe : mais tout ceia n'eft qu'une conjecture ; & il fe- 

 roit bien fingulier qu'il n'en reftât pas au moins quel- 

 que veitige dans quelqu'un des ouvrages des anciens 

 Géomètres. M. de l'Hôpital , ou plutôt M. de Fonte- 

 nelle , qui eft l'auteur de la préface des infiniment pe- 

 tits , obierve qu'il y a apparence que M. Pafcal eft ar- 

 rivé à force de tête & fans Analyie , aux belles décou- 

 vertes qui compofent fon traité de la roulette, imprimé 

 fous le nom à'Etonville. Pourquoi n'en feroit-il pas de 

 même d'Archimede & des anciens ? 



Nous n'avons encore parlé que de l'ufage de l'Al- 

 gèbre pour la rélolution des queftions numériques : 

 mais ce que nous venons de dire de l'Analyfe des an- 

 ciens , nous conduit naturellement à parler de l'ufage 

 de TAigebre dans la Géométrie : cetufage confifte 

 principalement à réfoudre les problèmes géométri- 

 ques par l'Algèbre , comme on réfout les problèmes 

 numériques , c'eft-à-dire, à donner des noms algébri- 

 ques aux lignes connues & inconnues ; & après avoir 

 énoncé la queftion algébriquement , à calculer de la 

 même manière que fi on réfolvoit un problème nu- 

 mérique. Ce qu'on appelle en Algèbre équation d'une 

 courbe, n'eft qu'un problème géométrique indétermi- 

 né y dont tous les points de la courbe donnent la fblu- 

 tion : 6c ainfi du refte. Dans l'application de l'Algè- 

 bre à la Géométrie , les lignes connues ou données 

 font repréfentées par des lettres de l'alphabet, comme 

 les nombres connus ou donnés dans les queftions nu- 

 mériques : mais il faut obferver que les lettres quire- 

 préf entent des lignes dans la folution d'un problème 

 géométrique , ne pourraient pas toujours être expri- 

 mées par des nombres. Je fuppofe , par exemple , que 

 dans la folution d'un problème de Géométrie , on ait 

 deux lignes connues , dont l'une que j'appellerai a foit 

 le côté d'un quarré > & l'autre que je nommerai b foit 

 la diagonale de ce même quarré ; je dis que fi on aftigne 

 une valeur numérique à a , il fera impofiible d'afîigner 

 une valeur numérique à b , parce que la diagonale 

 d'un quarré &c fon côté font incommensurables. V, 

 Incommensurable, Diagonale, Hypoténu- 

 se , &c. Ainfi les calculs algébriques appliqués à la 

 Géométrie ont un avantage , en ce que les caractères 



