lo6 ARR 



*a a m q ; c'eft-à-dire , l'intérêt dû à la fin de chaque 

 année , multiplié par le nombre des années : & fi 

 l'intérêt eft compofé , la fomme due au bout de ce 

 tems, fera a (i^-m) q — a, c'eft-à-dire la fomme to^ 

 taie due à la fin du nombre d'années exprimé par 

 ■q ; de laquelle fomme il faut retrancher le principal* 



Pour avoir l'expreffion arithmétique de ^(i-f/Tz) 3 

 — a ? fuppofons que la fomme prêtée ou le principal 

 foit ioooooo liv. que le nombre des années foit 

 10, & que le denier foit 20 ; il faudra chercher 

 une fraction qui foit égale à §| multiplié par lui 

 même 10 fois moins une , c'efl-à-dire 9 fois; ce 

 qu'on peut trouver aifément par le fecours des loga- 

 rithmes (Voyei Logarithme ) ; & cette fraction 

 étant diminuée de l'unité & multipliée par ioooooo, 

 donnera la fomme cherchée. 



Ceux de nos lecteurs qui font un peu algébriftes , 

 verront aifément furquoi ces deux formules font 

 fondées. Les autres en trouveront la raifon à l'ar- 

 ticle Intérêt , avec beaucoup d'autres remarques 

 importantes fur cette matière. 



On pourroit au refte fe propofer ici une difficulté. 

 Dans le cas où l'intérêt eft fimple , ce qui dépend 

 de la convention entre le débiteur & le créancier , 

 le débiteur ne doit en tout à la fin d'un nombre 

 d'années q , que la fomme totale a -f- a m q , com- 

 pofée du principal a, & du denier a m répété au- 

 tant de fois qu'il y a d'années : ainfi retranchant 

 de la fomme totale qui eft due , le principal a , il 

 ne refte que a m q à' arrérages à payer en argent 

 comptant. Mais dans le cas où l'intérêt eft compofé , 

 l'intérêt joint au principal devient chaque année un 

 nouveau principal ; ainfi. à la fin de la q — 1 6 an- 

 née, ou ce qui revient au même , au commencement 

 de la q e année , le débiteur eft dans le même cas 

 que s'il recevoit du créancier la fomme a (i-f-tfz) 3 '"" 1 

 de principal. Cette fomme travaillant pendant l'an- 

 née , le débiteur doit à la fin de cette année la fom- 

 me totale a (1 -f m) q , d'où retranchant le princi- 

 pal a (i+z/z) 3 " -1 qui eft cenfé prêté à la fin de 

 l'année précédente , il s'enfuit , ou il paroît s'enfui- 

 vre , que le débiteur à la fin de la q e année doit 

 payer au créancier en argent comptant la fomme 

 a (i+my—a (i+m) î_I & non pas <z(i+ m) q — a. 

 Pour rendre cette difficulté plus fenfible , examinons 

 en quoi confifte proprement le payement d'une ren- 

 te. Un particulier prête une fomme à un autre ; 

 au bout de l'année le débiteur doit la fomme totale 

 a + am, tant pour le principal que pour l'intérêt; 

 de cette fomme totale il ne paye que la partie a m ; 

 ainfi il refte débiteur de la partie a comme au com- 

 mencement de la première année : donc le débiteur 

 qui paye exactement fa rente eft dans le même cas 

 que fi chaque année il rendoit au créancier la fom- 

 me a-\-am, & qu'en même temps le créancier lui 

 reprêtât la fomme a: donc tout ce que le débiteur 

 ne rend point au créancier eft cenfé au commence- 

 ment de chaque année former un nouveau principal 

 dont il doit à la fin de l'année les intérêts en argent 

 comptant. Ainfi à la fin de la q— i e année le débiteur 

 eft cenfé recevoir <z( 1 -\-my~ 1 de principal : donc 

 à la fin de l'année fuivante il doit payer ^(i-j-w) 3 

 — û(i-j-w) î_I d'argent comptant, parla même rai- 

 fon que s'il recevoit b en argent comptant , il de- 

 vroit payer à la fin de l'année b (1 -f m) — b. 



La réponfe à cette difficulté eft que la quantité 

 d'argent que le débiteur doit payer, dépend abfolu- 

 ment de la 'convention qu'il fera avec le créancier, 

 & que d'une manière ou d'une autre le créancier n'eft 

 nullement léfé ; car fi le débiteur paye à la fin de 

 la q? année la fomme #(i-f-//z) 3 — il ne deyra 



ARR 



donc pïus au créancier au commencement de Taftnéé 

 fuivante que la fomme a ; il fe retrouvera dans le 

 même cas où il étoit avant le temps où il a ceffé de 

 payer, & à la fin de l'année q~\-i e i\ ne devra au 

 créancier que la fomme a m. Mais fi le débiteur ne 

 paye que la fomme a (i-f-wz) 3 — a (i-f-ra) 3 * - " 1 , la- 

 quelle eft moindre que a (m+i) 3 — a , toutes les 

 fois que q eft plus prand que 1 , comme on le fup* 

 pofe ici ; alors le débiteur au commencement de la 

 q + i e année fe trouvera redevable d'une fomme 

 plus grande que a ; & s'il veut en faire la rente 

 annuelle , il devra payer a (1 ~f m) q X m d'intérêt 

 chaque année en argent comptant. Ainfi le créancier 

 recevra une fomme moindre ou plus grande dans 

 les années qui fuivront celle du payement des arré- 

 rages , félon que Je débiteur aura donné pour le 

 payement de ces arrérages une fomme plus ou moins 

 grande. Il n'eft donc léfé ni dans l'un ni dans l'autre 

 cas , & tout dépend de la convention qu'il voudra 

 faire avec le débiteur. 



Autre queftion qu'on peut faire fur les arrérages 

 dans le cas d'intérêt compofé. Nous avons vu que 

 le débiteur au commencement de la f. année doit 

 la fomme totale a ( 1 -f m ) q "~ l ; fuppofons qu'il 

 veuille s'acquiter au milieu de l'année fuivante, & 

 non pas à la fin , que doit-il payer pour les arré-* 

 rages ? Il eft vifible que pour réfoudre cette queftion 

 il faut dabord favoir ce que le débiteur doit au 

 milieu de la q e année. En premier lieu le princi- 

 pal ou fomme totale a ( 1 +;tz) 3— 1 étant multiplié 

 par 1 -\-m doit donner la fomme qui fera due à la 

 fin de la q e . année, favoir a (1 -\-my , ou ce qui 

 revient au même , le débiteur devra à la fin de cette 

 année a ( 1 -f/72) 3- " 1 plus l'intérêt de cette fomme, 

 c'eft-à-dire , a ( 1 -f m ) S"" 1 x m. Dans le cours de 

 l'année il doit d'abord a ( 1 4- m ) î_r_I qui eft le prin- 

 cipal ; il doit de plus une portion de ce principal 

 pour l'intérêt qui court depuis le commencement de 

 l'année : cette portion doit certainement être moin- 

 dre que a ( 1 + m) q —I X m , qui eft l'intérêt dû à la 

 fin de l'année : mais quelle doit-elle être ? bien des 

 gens s'imaginent que pour l'intérêt de la demi-année 

 il faut prendre la moitié de l'intérêt de l'année , c'eft- 

 à-dire <z(i + 7/z) ? x — ?le tiers de l'intérêt pour 

 le tiers de l'année , & ainfi du refte : mais ils font 

 dans l'erreur. En effet, qu'arrive-t-il dans le cas de 

 l'intérêt compofé ? c'eft que les fommes dûes au bout 

 de chaque année font en progreffion géométrique , 

 comme il eft aifé de le voir. Or , pourquoi cette loi 

 n'auroit-elle pas lieu auffi pour les portions d'années, 

 comme pour les années entières ? J'avoue que je ne 

 vois point quelle en pourroit être la raifon. La fommë 

 due à la fin de la q—\ année eû a(i-\-my~~ 1 , celle 

 qui eft due à la fin de la q e année eft a (i+my, celle 

 qui feroit due à la fin de la q + I e feroittf ( 1 -\-m) q + 1 ; 

 & ces trois fommes font dans une proportion géo- 

 métrique continue. Donc la fomme due au milieu 

 de la qe année doit être moyenne proportionnelle 

 géométrique entre les deux fommes dûes au commen- 

 cement & à la fin de cette année , c'eft-à-dire entre à 

 ( 1 4- m y~~ X &ca(i-\-my- 9 donc cette fomme fera a 

 (i+my~*=a ( 1 -f^)î~" I x(i Or cette 



fomme eft moindre que a ( i-f- -\- a (1-}- m) 3 "" v 

 X qui feroit dûe fuivant l'hypothefe que nous 

 combattons. 



De même s'il eft queftion de ce qui eû dû au 

 bout du tiers de la q e année, on trouvera que la 

 fomme cherchée eft la première de deux moyennes 

 proportionnelles géométriques entre a ( 1 + 171 ) ? ~" ? 



