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èvv , avec , & de pk^v, mefare ; c'eft-à-dire , fans me- 

 fure. On entend par ce mot , un défaut de propor- 

 tion ou de correfpondance entre les parties d'une 

 choie. V oye^ Symmétrie» 



Ce mot défigne en Mathématique , ce qu'on entend 

 plus ordinairement par incommenfurabilité. Il y a in- 

 commenfurabilité entre deux quantités , lorfqu'elles 

 n'ont aucune commune mefure ; tels font le côté du 

 quarré & fa diagonale ; en nombres les racines four- 

 des , comme \/ '2 , &c. font auffi incommenfurables 

 aux nombres rationels* Voy. Incommensurable, 

 Sourd , Quarré , &c. (E) 



ASYMPTOTE, Afymptotus , f. f. terme de Géo- 

 métrie. Quelques auteurs dèfiniftent Yafymptote une 

 ligne indéfiniment prolongée , qui va en s'appro-* 

 chant de plus en plus d'une autre ligne qu'elle ne 

 rencontrera jamais. Voye^ Ligne. 



Mais cette définition générale de Yafymptote n'eft 

 pas exacïe , car elle peut être appliquée à des lignes 

 qui ne font pas des afymptotes. Soit (fg. zo. *z°; Z. 

 fècl. con.) l'hyperbole KSL; fon axe CM; fon axe 

 conjugué A B. On fait que fi du centre C, on mené 

 les droites indéfinies CD, CE, parallèles aux lignes 

 B S, A S , tirées du fommet S de l'hyperbole , aux 

 extrémités de fon axe conjugué ,: ces lignes CD, CE, 

 feront les afymptotes de l'hyperbole KSL. 



Soient tirées les parallèles fg , hi , &c. à Yafymp- 

 tote CD ; il eft évident que ces parallèles indéfini- 

 ment prolongées , vont en s'approchant continuelle- 

 ment de l'hyperbole qu'elles ne rencontreront jamais. 

 Là définition précédente de Yafymptote convient donc 

 à ces lignes ; elle n'eft donc pas exacle. 



Qu'eft-ce donc qu'une afymptote en général ? C'en 1 

 une ligne, qui étant indéfiniment prolongée s'appro- 

 che continuellement d'une autre ligne auffi indéfini- 

 ment prolongée , de manière que fa diftance à cette 

 ligne ne dévient jamais zéro abfolu , mais peut tou- 

 jours être trouvée plus petite qu'aucune grandeur 

 donnée. 



Soit tirée la ligne No p q perpendiculairement à 

 Yafymptote CD , & à fes parallèles /g 1 , hi, &c. il eft 

 évident que Yafymptote CD peut approcher de l'hy- 

 perbole , plus près que d'aucune grandeur donnée ; 

 car la propriété de Yafymptote CD confifte en ce 

 oue îe produit de Cp par p q eft toujours confiant ; 

 d'où il s'enfuit que Cp augmentant à l'infini, p q dimi- 

 nue aufîi à l'infini : mais la diftance des parallèles 

 fg, hi à cette courbe fera toujours au moins de np , 

 de op , &c. & par conféquent ne fera pas plus petite 

 qu'aucune grandeur donnée. Poye% Hyperbole. 



Le mot afymptote eft compofé de * privatif , de 

 evv, avec , & de t<V?« ,je tombe ; c'eft-à-dire , qui n'eft 

 pas co-incident,ou qui ne rencontre point. Quelques 

 auteurs Latins ont nommé les afymptotes , Lima in- 

 tactes, 



Certains Géomètres diftinguent plufieurs efpeces 

 d : 'afymptotes ; il y en a , félon ces auteurs, de droites , 

 de courbes , &c. Ils diftribuent les courbes en conca- 

 ves , convexes , &c. & ils propofent un inftrumeat 

 pour les tracer toutes : le mot (Yafymptote tout court 

 se défigne qu'une afymptote droite. 



U afymptote fe définit encore plus exactement une 

 ligne droite , qui étant indéfiniment prolongée , s'ap- 

 proche continuellement- d'une "courbe , ou d'une por- 

 tion de courbe auffi prolongée indéfiniment , de ma- 

 nière que fa diftance à cette courbe ou portion de 

 courbe ne devient jamais zéro abfolu , mais peut 

 toujours être trouvée plus petite qu'aucune grandeur 

 donnée. 



Je dis i°. d'une courbe ou d'une portion de cour- 

 be , afin que la définition convienne , tant aux cour- 

 bes ferpentantes qu'aux autres. 



Car la ligne fgh, (fg. zo. n°. J. ) ne peut être 

 confédérée comme Yafymptote de la courbe ferpen- 

 Tome /, 



tante mnoprs , que quand cette courbe à pris un 

 cours réglé relativement à elle ; c'eft-à-dire un cours^ 

 par lequel elle a été toujours en s'en approchant. 



Je dis 2 0 . que la diftance de Yafymptote. à la courbe 

 peut toujours être trouvée moindre qu'aucune gran- 

 deur donnée ; car fans cette condition , la définition 

 conviendrait à Yafymptote , & à fes parallèles. Or 

 une définition ne doit convenir qu'à la chofe défi- 

 nie. 



Ôn dit quelquefois que deux courbes font afymp- 

 totes l'une à l'autre , lorfqu'indéfiniment prolongées 

 elles vont en s'approchant continuellement , tans 

 pouvoir jamais fe rencontrer. Ainiï deux paraboles 

 de même paramètre , qui ont pour axe une même 

 ligne droite , font afymptotes l'une à l'autre. 



Entre les courbes du fécond degré , c'eft-à-dire 

 entre les fe&ions coniques , il n'y a que l'hyperbole 

 qui ait des afymptotes. 



Toutes les courbes du troifîeme ordre ont toujours 

 quelques branches infinies , mais ces branches in- 

 finies n'ont pas toujours des afymptotes ; témoins les 

 paraboles cubiques , & celles que M. Newton a nom- 

 mées paraboles divergentes du troifîeme ordre.Quant aux 

 courbes du quatrième , il y en a une infinité , qui 

 non-feulement n'ont pas quatre afymptotes , mais qui 

 n'en ont point du tout , & qui n'ont pas même de 

 branches ihfinies,commerellipfe de M. Caffini.Fby^ 

 Courbe , Branche , Ellipse , &c 



La Conchoïde, la Ciffoide, & la Logarithmique 

 qu'on ne met point au nombre des courbes géomé- 

 triques ont chacune une afymptote. P^oye^ Courbe. 



IJ afymptote de la conchoïde eft très-propre pour 

 donner des notions claires de la nature des afympto- 

 tes en général. $o\i[Planch. de CAnalyf fig, première) 

 MMAM une portion de conchoïde , C le pôle de 

 cette courbe , & BR une ligne droite au-delà de la- 

 quelle les parties QM , E A , QM , &c des dioileâ 

 tirées du pôle C, font toutes égales entr'eiies. Cela 

 pofé , la droite BR fera Yafymptote de la courbe. Car 

 la perpendiculaire Ml étant plus courte que MO 

 & MR plus courte que M Q , &c. il s'enfuit que la 

 droite BD va en s'approchant continuellement de 

 k courbe M M A M; deforte que la diftance MR va 

 toujours en diminuant , & peut être auffi petite qu'on 

 voudra, fans cependant être jamais abfolument nul- 

 le. Foyei Divisibilité , Infini , &c. foye^ auffi 

 Conchoïde. 



On trace de la manière fui vante les afymptotes de 

 l'hyperbole. Soit (Planch. des fècl. coniq.fig. ZO) une 

 droite DE tirée par le fommet A de l'hyperbole , 

 parallèle aux ordonnées Mm, & égale à l'axe conju- 

 gué de ; en forte que la partie AE foit égaie à la 

 moitié de cet axe, & l'autre partie DA égaie à l'au- 

 tre moitié. Les deux lignes tirées du centre C de l'hy- 

 perbole par les points D & E , favoir CF & CG ± 

 feront les afymptotes de cette courbe. 



Il réfulte de tout ce que nous avons dit jùlqti'ici, 

 qu'une courbe peut avoir dans certains cas pour 

 afymptote une droite, & dans d'autres cas une courbe. 

 Toutes les courbes qui ont des branches infinies , ont 

 toujours l'une ou l'autre de ces afymptotes ; & quel- 

 quefois toutes les deux ; Yafymptote eft droite» quand 

 la branche infinie eft hyperbolique ; Yafymptote eft 

 courbe , lorfque la branche infinie eft parabolique , 

 & alors Yafymptote courbe eft une parabole d'un de- 

 gré plus ou moins élevé. Ainfi la théorie des afymp- 

 totes des courbes dépend de celle de leurs branches 

 infinies. Voye{ BRANCHE. 



Une courbe géométrique ne peut avoir plus d'a- 

 fymptotes droites qu'il n'y a d'unités dans f êxpofant 

 de fon ordre. Voye{ Stirling , Enum. lin, ord. prop. 

 VI. cor. Y Introduction à Fanalyfe des Lignes cour- 

 bes, par M. Cramer , p. 344- an - l 47- Ce dernier 

 ouvrage cQnîxenî uae exçeUenîe théorie des afymp- 

 & HHhhh ij 



