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sopra S , un conveniente punto 0 , satellite di S 0 , descriva la super- 

 ficie 2. 



2°. Problema B). — Data una superficie 2 non sviluppabile, tro- 

 vare tutte le coppie (S, S 0 ) dì superficie applicabili, tali che, rotolando 

 S 4 sopra S, un conveniente piano tc, satellite di S 0 , inviluppi la super- 

 ficie 2. 



Ciascuno dei due problemi ammette sempre, come si vedrà, una infi- 

 nità di soluzioni con due funzioni arbitrarie, e la ricerca delle influite 

 coppie (S, S 0 ) corrispondenti di superfìcie applicabili dipende dalla inte- 

 grazione di un'equazione alle derivate parziali del secondo ordine, lineare 

 nelle derivate seconde e quadratica nelle derivate prime. Le coppie (S, S 0 ) 

 corrispondono biunivocamente alle soluzioni di questa equazione del 2° ordine. 



2. Fra i punti fi della superficie 2 (o inviluppo) di rotolamento ed i 

 punti M della superficie S d'appoggio viene stabilita, per la generazione 

 geometrica stessa, una corrispondenza, essendo M il punto generico di con- 

 tatto della S colla rotolante S 0 , e fi la posizione occupata sopra 2 dal 

 punto satellite (ovvero il punto di contatto col piano satellite). Il punto fi 

 è il piede della perpendicolare abbassata da M sopra 2. 



Ora supponiamo che la superficie S, flessibile ed inestendibile, si de- 

 formi, seco trasportando, invariabilmente legati, i segmenti rettilinei Mfi , 

 ed assuma la configurazione S 0 della superficie rotolante. Nel caso del pro- 

 blema A), i termini fi di questi segmenti dovranno raccogliersi in un unico 

 punto 0 (nel punto satellite), ed invece, pel problema B), si distribuiranno 

 sul piano satellite n, normale ai segmenti Mfi nella loro nuova posizione. 

 Viceversa, se esiste una configurazione S 0 della S, per la quale gli estremi 

 fi dei segmenti Mfi si raccolgono in un punto 0, ovvero si distribuiscono 

 sopra un piano 7r, la coppia (S, S 0 ) di superficie applicabili darà, nel primo 

 caso, una soluzione del problema A) con 0 punto satellite, nel secondo una 

 soluzione del problema B) con n piano satellite. 



In seguito a ciò, diventa di fondamentale importanza, pei nostri pro- 

 blemi di rotolamento, il risolvere la questione seguente, che si collega al 

 noto teorema di Beltrami sulla deformazione delle congruenze normali ('): 

 Dna superfìcie S flessibile ed inestendibile si deforma, seco trasportando i 

 segmenti rettilinei M,u, uscenti dai punti M di S e terminati negli estremi 

 fi ad una superficie 2 normale ai segmenti stessi. 



Quando è che esiste una configurazione S 0 della S, perlaquale la su- 

 perficie 2 si contrae in un punto? ovvero una configurazione S 0 per la 

 quale 2 diventa un piano? 



Se chiamiamo R il valore (algebrico) del segmento M/i, sarà R una 

 funzione delle coordinate curvilinee u, v del punto M mobile su S. Nel 



(') Vedi le mie Lezioni, voi. I, pag. 311. 



