primo caso, R dovrà rappresentare la distanza del punto M 0 corrispondente, 

 sulla supposta superficie applicabile S 0 , dal punto fisso 0; nel secondo, sarà 

 R la distanza di M 0 dal piano fisso n . 



Inversamente, supponiamo che esista una superficie S 0 , applicabile sopra 

 S, e tale che R = M/x rappresenti la distanza di M 0 (corrispondente ad M) 

 da un punto fisso 0 nello spazio, ovvero la distanza da un piano fisso n. 

 Dico, allora, che : Quando la S , deformandosi, assume la configurazione S 0 , 

 i termini fi dei segmenti Mfi si raccolgono , nel primo casOj nel punto 0 , 

 e nel secondo si distribuiscono sul piano n . 



La dimostrazione risulta da una nota proprietà che compete agli invi- 

 luppi di una doppia infinità di sfere, comunque si deformi la superficie 

 luogo dei centri, e cioè che: sopra ciascuna sfera i due punti di contatto 

 coli' inviluppo serbano una posizione invariabile ('). 



3. Le considerazioni geometriche sopra esposte hanno trasformato i pro- 

 blemi A) e B) nella questione seguente: 



Le normali alla superficie data 2 si intercettino con una superficie S, 

 e si indichi con R il segmento (variabile) di normale compreso fra 2 ed S. 

 Come deve prendersi R affinchè esista una superficie S 0 applicabile sopra S, 

 per la quale R rappresenti la distanza di un punto variabile sopra S 0 da 

 un punto fisso nel caso A), ovvero da un piano fisso nel caso B)? 



Si riferisca, per maggior semplicità, la superficie 2 di rotolamento alle 

 sue linee di curvatura (u , v), e siano E , G i coefficienti del quadrato del 

 suo elemento lineare 



ds 2 = E dw 2 -f- G dv 2 , 



ed — , — le sue curvature principali, talché: 



E , G ; — , — 

 Ti r 2 



saranno funzioni note di u , v. Se riportiamo sopra la normale a 2 un 

 segmento variabile 



R = R (u , u), 



la superficie S, luogo degli estremi di questi segmenti, avrà un elemento 

 lineare ds Y che si calcola subito colla formola : 



(1) dsl = E + du> + G + dv* + dR\ 



a) Ora suppongasi dapprima che esista una superficie S 0 applicabile 

 sopra S , per la quale R rappresenti la distanza del punto (u , v) di S 0 da 



(*) Lezioni, voi. II, pag. 88. 



