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un punto 0 fisso nello spazio. Se riferiamo la S 0 ad un sistema di coordi- 

 nate polari (R, 6, (p) col centro in 0, delle quali R sia il raggio vettore 

 e 6, y> gli angoli polari, per l'elemento lineare ds 0 della superficie S 0 

 avremo : 



(2) ds o 2 = R 2 (d0 2 + sen 2 My> 2 )4-dR 2 . 



Per esprimere che S , S 0 sono isometriche, dobbiamo eguagliare le due 

 forme differenziali (1), (2), onde segue 



(2*) E ^ + ^ 2 du 1 + G ^ + ^ 2 dv 2 = dd* -f sen 2 0 



A destra abbiamo il quadrato dell'elemento lineare della sfera unitaria : 

 e, per ciò, R dovrà essere una tale funzione di u, v da rendere la forma 

 differenziale a sinistra di curvatura K = -j- 1. Viceversa, se questo accade, 

 avremo una soluzione del problema A), e la superficie rotolante S 0 si avrà inte- 

 grando l'equazione differenziale di Riccati che occorre per ridurre la forma (2*) 

 a sinistra al tipo normale d8 l -}- sen 2 6 dy> 2 . Conchiudiamo adunque: 



Per risolvere il problema A), si riporti sopra ogni normale della 

 superficie data 2 un segmento R = R(w, v), tale da rendere la forma 

 quadratica differenziale 



di curvatura = -f- 1 . Il luogo dei termini di questi segmenti dà una 

 superficie [S d'appoggio, e la superficie S 0 rotolante (insieme col punto 

 satellite) viene individuata dalla (2) o (2*), mediante l'integ ragione di 

 un equazione di Riccati. 



Dopo ciò, noi formiamo subito, nel modo più semplice, l'equazione a 

 derivate parziali del 2° ordine da cui dipende il problema A), procedendo 

 come segue. Pongasi 



i = T 

 R 



H 1 =1/E.T + 1 — , H 2 =j/G.T + ^, 



r 2 r x 



(') Si trasforma subito questo risultato in coordinate curvilinee qualunque. Se con 



E du 3 -\- 2F du dv -j- G dv* , T)du t + 2~D'dudv+J)"dv t 



si indicano le due forme quadratiche fondamentali di 2, con H la curvatura media, con 

 K la totale, è da determinarsi R in guisa che la forma differenziale 



(gi — (E du 3 + 2 F du dv + G dv*) — ( |- + H j (D du 3 -f- 2 D' du dv + D" dv 3 ) 



abbia la curvatura == -\- 1 . 



