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ammettono una doppia infinità di soluzioni particolari T o E funzioni del- 

 l'argomento stesso t , poiché esse si cangiano, in questa ipotesi, in una equa- 

 zione differenziale ordinaria del 2° ordine. E siccome R è allora costante 

 lungo le eliche au -\- bv = cost. (o i paralleli), si vede che la superficie S 

 d'appoggio sarà pure elicoidale, e lo stesso si riscontra aver luogo per la 

 superficie S 0 rotolante. Dunque: Se la superficie 2 di rotolamento (o l'in- 

 viluppo) è elicoidale, esiste una doppia infinità di coppie (S , S 0 ) di eli- 

 coidi applicabili, che risolvono il problema A), o il problema B). 



Si consideri ancora il caso che la superficie 2 di rotolamento sia un 



cilindro circolare retto, di raggio = - . Possiamo fare 



E = G = 1 , - = 0 , -=a; 



r Y r t 



e il problema si trasforma, pel n. 3, nell'altro di ridurre l'elemento lineare 

 sferico alla forma (di Weingarten) 



(T -f af du* + T 2 dv 2 . 



Esso equivale quindi alla ricerca di tutte le deformate di una certa super- 

 ficie di rotazione, che si può facilmente assegnare. 



6. Nelle ricerche che abbiamo fin qui indicato, si è tacitamente escluso 

 il caso che il rotolamento di S 0 sopra S dia luogo ad un movimento con 

 un solo parametro, anziché ad un movimento a due parametri. Questa cir- 

 costanza si presenta allora, ed allora soltanto, che la coppia (S , S 0 ) consti 

 di due rigate applicabili (R , R 0 ), sicché, corrispondendosi nell'applicabilità 

 le generatrici (pel teorema di Bonnet), la rigata rotolante R 0 tocca in ogni 

 sua posizione la rigata R d'appoggio lungo tutta una generatrice e, roto- 

 lando, acquista solo una semplice infinità di posizioni. In tal caso un punto 0 

 satellite di R 0 descrive non più una superficie, ma una curva C, ed un 

 piano n satellite di R 0 inviluppa una sviluppabile; e i problemi fondamen- 

 tali A) e B) si semplificano nei due seguenti: 



Problema A'). — Data una curva qualunque C come curva di 

 rotolamento ( « roulette » ), trovare tutte le coppie (R , R 0 ) di rigaie appli- 

 cabili tali che, rotolando R 0 sopra R , un punto 0 , satellite di R 0 , de- 

 scriva la curva C . 



Problema B'). — Data una qualunque sviluppabile 2, trovare tutte 

 le coppie (R , R 0 ) di rigate applicabili, tali che, rotolando R 0 sopra R, 

 un piano n , satellite di R 0 , inviluppi 2 . 



Questi due problemi sono retti ancora dalle medesime equazioni a deri- 

 vate parziali (I) (II), convenientemente interpretate ; ed in questi casi, come 

 in quelli considerati al n. 4, l' integrazione riesce completamente. In ciò che 

 segue, diamo le relative costruzioni geometriche, le quali si possono rendere 



