che il risultato di un certo numero di prove ripetute sia compreso entro 

 certi limiti. 



1. Consideriamo s prove, in ciascuna delle quali l'avvenimento A abbia 

 la probabilità p di presentarsi. Poniamo: 



(1) p.- ' ( — 1) -;{—' + 1 V o-rt"- 



Sarà, questa , la probabilità che, in s prove, l'avvenimento A abbia 

 a presentarsi v volte e non più. Il numero v può prendere tutti i valori 

 interi da 0 ad s, e, se la sommatoria 2 s'intende estesa a tutti questi valori 

 di v, si avrà evidentemente: 



(2) XP„ = 1, 



Derivando la (1) rispetto ape moltiplicando per p(l — p), si ha, con 

 ovvie riduzioni: 



(3) p(l-p)^=(v-sp)? v . 



Se pertanto si deriva la (2) rispetto a p e si moltiplica per p(\ — p), 

 si ottiene : 



(4) 2(v~sp)? v = 0 



(il che vuol dire che sp è il valor medio o la speranza matematica di v). 



Ripetendo sulla (4) l'operazione ora eseguita sulla (2), e tenendo conto 

 delle (2) (3), abbiamo 



(5) 2{v — sp) 2 J > v = sp(l — p) — spq . 



ove si ponga q — 1 — p. (Questo risultato si può esprimere dicendo che 

 \/pqs è l'errore medio Gaussiano della ipotesi v = ps). 



Indichiamo ora con « un numero reale positivo, e chiamiamo a x , a 2 ... «i 

 quelli (se pur ve ne sono) fra i possibili valori di v, pei quali risulta 



(6) {v — sjo) 2 >e 2 s 2 . 



Denotiamo poi con 2' quello a cui si riduce la sommatoria 2, quando 

 la si estenda ai soli valori cc x , a s ... a,- della v, trascurando tutti gli altri. 

 Poiché nel 1° membro della (5) tutti i termini sono positivi, avremo 



2'{v — sp) 2 ? v <pqs. 



E quindi, per la (6), 



e*s*.2' P v <pqs, 



