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avvero 



rp,<a. 



Ora, .2'P„ esprime la probabilità che il numero v soddisfaccia alla 

 diseguaglianza (6). La probabilità II, che sia invece soddisfatta la relazione 



(7) \v — sp\ 2 < « 2 s 2 



sarà dunque 



ff=l-2'P,>l-f . 

 La (7) può anche scriversi 



v 



—P 



Abbiamo dunque una probabilità 

 (8) Z7>1- 



£ 2 S 



y 



che la differenza p non supererà, in valor assoluto, un valor assegnato e . 



s 



Preso « piccolo a piacere, si può immaginare il numero s delle prove tanto 

 grande perchè H differisca da 1 (certezza) di tanto poco quanto si vuole. 

 Il che esprime appunto il teorema di Giacomo Bernoulli. 



2. Questo modo di dimostrazione presenta, di fronte a quello ordinaria- 

 mente seguito, il difetto, che esso non fornisce la nota espressione appros- 

 simata, per mezzo dell' integrale di Poisson, della probabilità 27 nel caso di 

 un numero grande, ma finito, di prove. Ma nella mia sopracitata Nota ebbi 

 a dimostrare come, in tutti i casi (che sono i più interessanti) in cui la II 

 è molto prossima ad uno, la approssimazione data dal detto integrale è asso- 

 lutamente illusoria. D'altra parte, l'assegnare, come è fatto nel precedente 

 paragrafo, un limite inferiore della II, può in molti casi essere sufficiente. 

 È poi facile, trovare altri limiti [in molti casi, più approssimati di quello 

 fornito dalla (8)], valendosi, invece che della forinola (5), delle analoghe 

 formole che dànno il valor medio delle quarte, seste ecc. potenze della 

 differenza v — ps . 



Per ottenere, con una certa speditezza, i detti valori medii, osserviamo 

 che, posto 



M n = S(p — sv) n .V v , 

 la formula (3) dà immediatamente 



M n+Ì =p(l — p) l^js + swM n _! j . 



