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Matematica. — Sulle funzioni di linee. Nota di Leonida. 

 Tonelli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



potrà aversi sol quando questa teoria verrà considerata definitivamente come 

 un capitolo di quel Calcolo funzionale che ha già avuto notevolissimi 

 sviluppi per opera di Volterra, Pincherle, Bourlet, Hadamard, Fréchet, Riesz 

 ed altri, ed al quale pare riserbato, in un futuro assai prossimo, un posto 

 di singolare importanza nell'analisi. Non è quindi ozioso l'occuparsi un poco 

 del come deve impostarsi questo Calcolo funzionale perchè riesca veramente 

 utile ai tini del Calcolo delle Variazioni. 



Limitandosi al problema più semplice, a quello relativo a integrali 

 estesi a linee, subito si vede che, nel Calcolo delle Variazioni, si presentano 

 le così dette funzioni di linee, e che perciò si è condotti naturalmente al 

 Calcolo funzionale del Volterra. 



Scopo di questa Nota è di esaminare il valore del concetto di conti- 

 nuità nella teoria della funzioni di linee, in relazione al problema detto di 

 Calcolo delle Variazioni. 



1 . Sia dunque F(x ,y,x',y') la solita funzione del Calcolo delle Va- 

 riazioni, finita e continua, insieme colle sue derivate parziali dei primi tre 

 ordini, in un campo A del piano (x , y) e per tutte le coppie (x' ,y) sod- 

 disfacenti alla disuguaglianza x n -f- y n =£= 0. Sia poi C una curva, appar- 

 tenente al campo detto, continua e rettificabile. 



Si consideri l'integrale 



dove le x' , y rappresentano le derivate delle coordinate x , y dei punti di C, 

 espresse in funzione dell'arco s della curva stessa, e si supponga che la 

 funzione di linea J(C) sia continua. 



Vediamo, innanzi tutto, di definire con esattezza questa continuità. 



Diremo che una curva C (considereremo sempre curve continue, retti- 

 ficabili) appartiene ordinatamente ad un intorno (q) di C, se è possibile 

 di porre tra le curve una corrispondenza biunivoca, ordinata e continua, tale 

 che la distanza fra due punti corrispondenti qualsiasi risulti sempre minore 

 del numero positivo q . 



Diremo, poi, che la funzione di linea J(C) è continua sull'elemento Q 

 se, preso un s positivo, arbitrario, è sempre possibile di determinare un q 0 



È ormai ben noto che un vero rinnovamento del Calcolo delle Variazioni 



-') ds , 



