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tale che, per ogni curva C di A appartenente ordinatamente all' intorno 

 (q) di C, si abbia 



|J(C) - J(C)|<e. 



2. Questa continuità, quali particolarità presuppone nella funzione 

 ¥{x , y , x' , y') ? 



Sia P un punto qualsivoglia di C, e si consideri una curva chiusa y, 

 passante per esso e giacente tutta nel cerchio di centro P e raggio q. cerchio 

 che indicheremo con la scrittura (P.p). Per g abbastanza piccolo, l'integrale 



Fds 



>Y 



deve essere nullo: e ciò qualunque sia la y. Ed invero, se ciò non fosse, 

 ad ogni intero n corrisponderebbero sempre infinite curve y n , tutte conte- 

 nute nel cerchio ^P . -j e tutte soddisfacenti o alla disuguaglianza 



P ds > 0 , 



oppure alla contraria. Suppongasi, per fissare le idee, che si verifichi sempre 

 la prima di queste disuguaglianze. Allora, presa una qualsiasi delle curve y n , 

 contandola un numero sufficiente di volte, m n , in modo che sia 



m» f Fds>ó 



dove S è un numero prefissato, positivo, e unendole la curva C, se ne ot- 

 tiene un'altra G„ tale che 



J(C„) — J(C)>d. 



A questa disuguaglianza devono soddisfare tutte le C„ corrispondenti ad un 

 determinato n : e, ciò qualunque poi sia questo n . E poiché tutte le C„ ri- 

 sultano appartenenti ordinatamente all'intorno ( 2 - | di C , ne viene che 



\ nj 



la funzione di linea J non può essere continua sulla C. 



È dunque provato che, per q abbastanza piccolo, li integrale della P 

 esteso alle y è nullo, e se ne deduce, sempre per lo stesso q, che il me- 

 desimo integrale, esteso ad una qualsiasi curva congiungente P con un punto 

 arbitrario di (P , q), e giacente per intero in tal cerchio, è indipendente dal 

 cammino d' integrazione. Per ciascuna di tali curve è allora nulla la varia- 

 zione prima dell'integrale della P: vale a dire, è soddisfatta l'equazione 

 differenziale di Eulero 



F-itff - *V + Fi(*y — x"y') = 0 , 



