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dove F, rappresenta l'invariante di Weierstrass della F. Questa equazione 

 risulta quindi soddisfatta identicamente nel cerchio (P , q), il che porta che 

 sia identicamente 



Essendo 



F, = 0 . 



i F ocy' — F y X t . 



F x 'oo' 



F x 'y' Fytyl 



f 2 



x y x l 



la prima delle precedenti identità mostra che F^ e F y t sono indipendenti 

 da x e y', che è cioè F^f = F(x , y) , F y r = Q(x , y) ; e la seconda, che 

 queste P e Q verificano l'ugnaglianza 



-^?(x,y) = ^ c Q(^y). 



Tutto questo avviene nel cerchio (P , q). E poiché P è scelto comunque su C 

 si può concludere, in forza di un noto ragionamento, che 



l'ipotesi della continuità della Jf C) ■ sulla curva C, porta che, per 

 tutti i punti di A distanti da C per meno di un certo q x , è 



F(x , y., x[ , y') — x F x , -f- %j F ?/ = x'F(x , y) -f y'Q{x , y) , 



con — = — . 

 ~òy ~òx 



Se poi la J(C) è continua su qualunque C di A . le uguaglianze qui 

 scritte valgono in tutto il campo. 



3. Da quanto precede, si vede che l'ipotesi della continuità è di troppo 

 restrittiva, portando ad escludere tutti quegli integrali che veramente inte- 

 ressano nel Calcolo delle Variazioni. 



La continuità è dunque da scartarsi, almeno nella forma nella quale 

 fu posta più sopra. Si potrebbe però pensare ad una continuità di natura 

 più larga, per esempio alla continuità di ordine 1 dell' Hadamard (se- 

 condo il quale, la precedente sarebbe di ordine zero), ed anche a quest'altra, 

 che starebbe fra quella definita più sopra e quella detta or ora dell' Ha- 

 damard, e che si può fissare così: la funzione J(C) è continua sull'ele- 

 mento C se, preso un t positivo, arbitrario, è sempre possibile di determi- 

 nare un p>0 tale che, per ogni curva C di A, appartenente all'intorno 

 (q) di C , e tale che sia 



| lunghezza C — lungh. C |< q , 



si abbia 



;J(C')-J(Q)|<*. 



Secondo questa definizione, la funzione J(C), qualunque sia la F(x,y,x',y') 

 (purché soddisfacente alle condizioni iniziali da noi poste al n. 1), risulte- 



