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rebbe sempre funzione continua. Ed infatti, come ho altrove dimostrato ('), j 

 sta la seguente proposizione : « Se la curva C tende alla C , in modo che 

 differenza delle rispettive lunghezze tenda a zero, è 



e ciò vale, solo che la F soddisfi alle condizioni poste al principio del n. 1 » 

 Possiamo anzi aggiungere ( 2 ) che la condizione del tendere allo zero della 

 differenza delle lunghezze delle curve C e C , è non solo sufficiente, bensì 

 anche necessaria, affinchè si abbia l'uguaglianza precedente, tutte le volte 

 che l' invariante di Weierstrass si mantenga diviso da zero sulla C e per 

 qualunque coppia x , y' tale che sia %' 2 -\- y'' 2 =$= 0. Questo mostra, in par- 

 ticolare, che neppure aggiungendo una limitazione sulla lunghezza delle 

 curve da considerare (limitazione che si presenta spontaneamente per es., 

 in molti problemi isoperimetrici) è possibile di render continui, secondo la 

 definizione del n. 1, gli integrali relativi al caso regolare (pei quali l'in- 

 variante di Weierstrass si mantiene, precisamente, sempre diverso da zero). 



4. Peraltro, la definizione di continuità ora proposta non presenta di 

 fronte ai problemi di calcolo delle variazioni, quel medesimo valore che 

 la continuità delle funzioni di variabili numeriche ha rimpetto alle questioni 

 di massimo e minimo. Ciò che, invece, sembra rispondere alle esigenze del 

 calcolo delle variazioni, è il concetto di semi continuità, che Baire ha fissato 

 per le funzioni del calcolo ordinario e che io ho già cercato di introdurre 

 nelle questioni che qui ci occupano. 



Il concetto di semicontinuità si ha analizzando quello di continuità, 

 preso, nel caso nostro, nella forma del n. 1, scindendolo nei suoi due ele- 

 menti costitutivi. 



Diremo che la J(C) è semicontinua inferiormente (superiormente) sul- 

 l'elemento C , se, preso un s positivo, arbitrario, è sempre possibile di deter- 

 minare un q > 0 tale che, per ogni curva C di A , appartenente ordina- 

 tamente all'intorno (q) di C, si abbia 



Come è evidente, se la J(C) è semicontinua, tanto inferiormente quanto 

 superiormente, è anche continua nel senso del n. 1. 



Ciò che è essenziale, circa il valore della semicontinuità, è questo: le 

 funzioni semicontinue inferiormente (superiormente) si comportano, di fronte 



[}) Sugli integrali curvilinei del calcolo delle variazioni, Nota II (Kend. E. Acc. 

 Lincei, 1912, 1° seni.). 



( a ) Cfr. L. Tonelli, Sugli integrali curvilinei del Calcolo delle Variazioni. Nota III 

 (Rend. R. Acc. Lincei, 1912. 2° sem.). 



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J(C') -J(C)>* (O). 



