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ai minimi (massimi), proprio come le funzioni continue. Si tratta però d 

 vedere se questo concetto di semicontinuità porti o no a scartare i casi più 

 interessanti del calcolo delle variazioni. Qui la risposta è confortante. Si 

 può, infatti, dimostrare (') che, se l' invariante di Weierstrass, Fj, si man- 

 tiene sempre diverso da zero (caso detto regolare), J(C) è una funzione 

 semicontinua: e precisamente, semicontinua inferiormente, se è Pj ^> 0 ; su- 

 periormente, se Pj<0. 



5. Questa semicontinuità fu già da me ( z ) applicata alla dimostrazione 

 dell'esistenza del minimo nel caso in cui siano verificate entrambi le con- 

 dizioni P > 0 , Pj > 0 ; ed anche nell'altro, F > 0, Fi -> 0. Qui mi propongo 

 di mostrare come da essa scenda immediatamente anche l'esistenza del mi- 

 nimo nel così detto problema discontinuo, in quello cioè nel quale la fun- 

 zione P, che si tratta di integrare, presenta delle discontinuità nel campo 

 in cui la si considera. 



Tale problema ha un' importanza pratica, perchè ad esso conducono di- 

 verse questioni di fisica-matematica, delle quali citeremo solo quella relativa 

 alla propagazione della luce attraverso un mezzo composto di parti etero- 

 genee, per le quali l'indice di rifrazione presenti delle discontinuità. 



Supponiamo, per semplificare il ragionamento, che ci sia una sola dis- 

 continuità : vale a dire, che il campo A, che supporremo limitato, sia diviso 

 da una linea r in due altri A (1) , A (2) , nei quali si abbia, rispettivamente, 



dove queste P (I) , P (S) saranno funzioni aventi, ciascuna nel proprio campo, 

 le stesse proprietà enunciate per la P al principio del n. 1. Si supponga, 

 inoltre, che si abbia sempre (eccettuate le solite coppie x' , y' verificanti 

 l'uguaglianza x n -j- y'* = 0) 



F (n >U , Pj 1) >0 ; P (2) >0 , Ff >0. 



Presi due punti P (1) , P (8) , rispettivamente in A (1) e A (2) , si consideri 

 una curva (continua e rettificabile) a, congiungente i punti detti e composta 

 di due archi a (1) , a l2 \ il primo dei quali sia contenuto in A (1) (contorno 

 compreso), e il secondo in A <2) (pure contorno compreso). 



Dico che, fra tutte le possibili curve a, ve riè una almeno per la 



quale 



f Fds = f F llì ds+lf P (2) ds 



è minimo (assoluto). 



(*) L. Tonelli, Sul caso regolare nel calcolo delle variazioni (Eendic. Gire. mat. di 

 Palermo, 1913, 1° sem.). 

 ( 3 ) loc. cit. 



