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Sia «j, a 8 ,...,«„,... , una successione minimizzante, tale cioè che 



P ds tenda al limite inferiore i dell' integrale della F esteso a tutte le 



possibili curve a . Osserviamo, prima di proseguire, che l'esistenza di questa 

 successione è del tutto indipendente dal postulato di Zermelo, come risulta 

 da una mia Nota: Sul valore di un certo ragionamento ('). 



Indicheremo, con 0„ il punto di a n che divide questa stessa curva 

 nelle sue due parti , a^K O n giaco necessariamente su r, e la successione 

 Oj , 0 2 , .., , 0 K , ... ammette (su J 1 ) uno o più punti limiti. Sia 0 uno di 

 essi. Possiamo, senz'altro, ammettere che sia addirittura 0 = limO„. Le 



n— oo 



lunghezze delle a n sono tutte inferiori ad un numero fìsso, perchè è sempre 

 F (1) >0 , P C2) > 0. Tali curve ammettono perciò una o più curve limiti. 

 Se « è una di esse, questa a dovrà passare per 0, e sarà la curva a cui 

 tenderà una successione , «„„ , . . , estratta dalla a, , a 2 , ... . E avremo, 

 per la semicontinuità inferiore, 



, F«> ds< Minlim Li P (1) ds 



n =oo J n r 



•|_ 2Ì F (2) ds -< Minlim L, P (2) ds , 



Jtt, n =oo J «r 



e quindi 



donde 



L F ds < Minlim ¥ ds = i 



_ F ds = i 



'a 



e a è una curva minimum. 



Le condizioni poste, relative all'invariante di Weierstrass, F (1) ^> 0, 

 p(i> >> non sono essenziali e possono sostituirsi con le altre P U) .> 0, 

 P <2) > 0. 



Possiamo aggiungere, terminando, che, anche nel caso attuale, dalla 

 semicontinuità in J(C) scende il teorema di Osgood, il cui enunciato e le 

 cui dimostrazioni sono identici a quelli dei mi. 19 e 20 del mio citato 

 lavoro: Sul caso regolare ecc. 



(') Atti R. Acc. delle scienze, di Torino, 1913. 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 



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